1、《3.1.4 空间向量的坐标表示》 导学案
教学过程
一、 问题情境
问题1 空间向量基本定理是什么？
问题2 我们如何选择基底？空间向量如何用坐标表示？
二、 数学建构
(图1)
问题3 如图1，在房间(立体空间)内如何确定电灯位置？[1]
问题4 确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数.那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？
问题5 如何用一组实数来表示电灯的位置？
解 通过类比联想，容易知道需要三个数.在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只需两个数x，y就可确定.为了确定不在地面上的电灯的位置，需要用第三
2、个数表示物体离地面的高度，即需第三个数z.因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个数分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组(4，5，3)确定这个电灯的位置(如图2).
(图2)
问题6 如何用坐标表示空间向量呢？能表示所有的空间向量吗？
1.空间向量的坐标表示
(图3)
如图3，在空间直角坐标系O-xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x，y，z)叫
3、做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=(x，y，z).
2.空间向量坐标运算法则
(1)设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)，a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)，λa=(λa1，λa2，λa3)，λ∈R；
(2)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).
(例1)
4.空间向量平行的坐标表示
a∥b(a≠0)⇔b1=λa1，b2=λa2，b3=λa3(λ∈R).
三、 数学运用
1、已知与的夹角为，则的值为（ ）
4、
2、已知且，则--------------------------------（ ）
3、如果三点在同一条直线上，那么--------------------( )
4、已知向量，若=6，且，则的值为___________.
5、已知点的坐标分别为，点的坐标为，若
，则点的坐标为__________________.
6、已知，则是_____________.(判断形状)
7、已知，则以为邻边的平行四边形的面积是____________.
8、已知，点，在平面内，求的值.
9、已知
（1）求线段中点的坐标；
（2）求证，且；
（3）求到两点距离相等的点的坐标满足的条件.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
