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1、 数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进 入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微 分和积分也就立刻成为必要的了。 ——恩格斯 数学史上的伟大转折 阿基米德之死是希腊文明的不祥之兆。除了比阿基米德稍晚一 点的阿波罗尼奥斯在圆锥曲线有伟大的贡献以外，托勒玫、帕普 斯、丢番图等人在几何、算术、三角等方面的贡献也增添了希腊 数学的荣光。特别是3世纪古希腊数学家丢番图的名著《算术》， 对后世的数学有深远的影响。但是，总的说来，在阿基米德以后， 由于经济、政治(
2、战争是它的特殊形式)和其他种种社会因素的影 响，数学乃至整个科学的步履都慢了下来。 在以后的1000多年的漫长岁月里，印度人、阿拉伯人、中国人 和中亚一些民族，在数学上都有不少重要贡献；尤其是印度人建立 了十进位值记数法、负数和无理数运算法则，对数学的进一步发 展很有帮助。算术、代数、几何、三角这些所谓“初等数学”或 “常量数学”发展成熟了。然而在封建统治下呻吟的欧洲，正经历 着长夜漫漫的中世纪，在数学史上显得暗淡无光。直到15世纪后半 叶，文艺复兴开始，意大利人对代数方程的研究，纳皮尔发明对数， 韦达建立代数符号系统，才使数学发展又显露出生机。而真正的伟 大转折是
3、笛卡儿的坐标几何的兴起。 17世纪法国先进科学思想的光荣代表勒内·笛卡儿，是卓越的 近代哲学家，同时也是第一流的自然科学家。他对哲学、物理学、 生物学、化学、医学和天文学都有重大贡献。他的音乐著作对17、 18世纪的音乐家产生过很大影响。数学只是他研究的众多科目中的 一个。但是，他在数学上的成就，使他在其他方面的工作黯然失色。 19世纪英国著名哲学家、经济学家穆勒说：“笛卡儿的坐标几何远 远超过他哲学上任何成就，是严密科学中一个最为重大的进展，它 使笛卡儿的名字永垂史册。” 小哲学家 法国西部的布列塔尼半岛上有一座图朗城。从塞文山脉北麓逶 迤而来的
4、卢瓦尔河轻轻穿过这座幽静的小城，注入美丽的比斯开湾。 城里住着一家姓笛卡儿的贵族世家。主人是位有名望的律师，还是 布列塔尼地方议会的议员。 1596年3月31日，天空乌云密布，大雨滂沱。笛卡儿家的第 三个儿子挣扎着、啼叫着来到人间。产妇苍白的额上沁出豆大的汗 珠，接生婆小心翼翼地把婴儿抱到她的跟前。她费力地睁开眼睛， 端详着孩子娇嫩的脸蛋，在上面轻轻一吻，旋即昏迷过去。3天以 后母亲溘然长逝。孩子的身体极其赢弱，几乎夭折。幸亏保姆悉心 照料，才得转危为安。 父亲给儿子取名勒内——法文René，就是“重生”的意思。不 久，老笛卡儿再婚，好心肠的保姆从此挑起作母
5、亲的重担。保姆聪 明善良，会讲许多稀奇古怪的神话。夏天的晚上，星光闪烁，清风 拂面，她在院子里娓娓动听地讲起日月星辰的故事。小笛卡儿搂着 她的脖子，瞪大眼睛听着，完全出了神。 “你看见正对着窗户的那颗闪亮的星星吗?她叫美女星。那上 面啊，住着一位美丽的公主。她的眼睛又大又亮，就这样一闪一闪 的。”保姆一边说，一边眨巴着眼睛。 “她的脸像苹果一样，红红胖胖的。她别的不吃，只吃苹果。 ．．．．．．” “她为什么不吃糖?那星星上没有糖吗?”小笛卡儿最爱吃糖， 所以不解地问。 “糖啊，有!星星上到处都是糖，连路都是糖铺出来的呢。糖 太多啦，吃得
6、公主的肚子啊，疼得哇哇直叫，所以她再也不吃啦。” “星星上哪来的那么多糖啊?” “哪儿来的?本来就有的呗!”保姆理直气壮地答道。 “你怎么知道那上面有糖呢?” “啊……!”口齿伶俐的保姆一时竟支吾着说不出话来。 孩子不算早熟，可是他对每件事都爱寻根问底，像个学问家的 样子。别说保姆，就是父亲，虽说是一位享有盛名的大律师，也往 往被孩子问得张口结舌，无言以对，最后只好认输： “好啦，我的小哲学家!这个问题将来由你自己去解答吧。” 父亲没有想到，他漫不经心的一句话，后来竟成为现实。为了 揭开笼罩在事物外部的层层面纱，这一理
7、想激励着笛卡儿一生不倦 地追求。 拉弗莱舍 老笛卡很懂得儿童教育法。他看到儿子体弱多病，爱沉思默 想，就让他随自己心意去学习，不加任何限制。这样，小笛卡儿可 以展开他想像的翅膀，在那浩瀚的宇宙中自由地翱翔。一上8岁， 父亲经多方打听，把他送到当时欧洲最有名的耶稣会学校之一—— 拉弗莱舍公学学习。这是个读书的好地方。一幢幢暗红色的校舍青 苔斑驳，爬满了常青藤，在苍劲的古树环抱之中，显得十分庄重而 且幽雅。只有远处教堂传来缓慢而深沉的钟声，打破校园里的宁静。 校长沙特利神甫非常喜欢这个瘦削苍白的孩子。他见小笛卡儿 身体孱弱，需要比同年龄儿童更多的睡眠，
8、特别允许他早晨可以自 由支配，不必随同学一道起床。从此笛卡儿养成在早晨躺着看书和 思考问题的习惯。堆放在枕边的一本本哲学、数学、文学和历史书 籍成了他形影不离的伴侣。无论是鸟语花香的阳春，还是白雪皑皑 的严冬，每天早晨，他把枕头垫得高高的，一只手支在脑后，微闭 起眼睛躺在床上。上帝，宇宙，地球，科学，真理，教会，……一 直到人，宇宙间的万物，都一一来到他的面前接受检验。除了树叶 的簌簌声和鸟儿的啾鸣，四周一片静谧。他从容不迫地对自己提出 各种问题，并且试着根据教师或者《圣经》上的论述来作出回答。 然后再对这个解答提出疑问。这样，解答，质疑，再解答，再质疑， 它们在笛卡儿的脑
9、海里展开反复激烈的交锋。 笛卡儿的青年时代正是欧洲文艺复兴的末期，资产阶级革命的 前夕，社会处于宗教和政治变革的阵痛之中。新发现的自然规律向 宗教的基本教义提出了严重的挑战。五花八门的哲学信条在实践检 验面前纷纷破产。整个中世纪文明受到怀疑。彷徨中的知识分子需 要为他们知识的建立寻找新的、坚实的基础。虽然在传统的重要课 程——拉丁语、希腊语和修辞学学习中，笛卡儿很快成为一名出色 的古典语言学者，可是这位爱追根究底的高材生渐渐对学校的教育 产生怀疑。不说别的，就说神学所宣扬的上天堂之路吧，这个说法 的确很吸引人，笛卡儿也和别人一样渴望升入天堂。然而他禁不住 对自己发问
10、怎样能证明这条道路是确实存在的呢?他发觉要学生 盲目接受的经院哲学的教条，实际上不过是一种迷信，并没有可靠 的依据。他眼下所研究的人文学，看来同样没有什么意义。它们只 是钻在故纸堆里，用可疑的方法，烦琐地考证古代文稿中的片言只 字，通过语义学的研究来确定它们的含义。似乎这些就是人类追求 的终极的完全的“学问”。其实这种“学问”既不能帮助人去改造 环境，也不能指导人们自身的行为。于是笛卡儿得出结论，学校的 教育除了认识到自己无知以外，没有任何收获。拉弗莱舍是欧洲最 有名的学校了，他相信自己并不是劣等生，因此他进而怀疑，在任 何其他的地方，究竟还有没有可靠的系统知识?紧接着他就
11、抓到问 题的核心：归根到底，怎样才能认识和了解一件事物呢? 1612年8月，笛卡儿以优异成绩从学校毕业。校长沙特利神甫 成了他的终身好友。拉弗莱舍的另一位挚友是马林-梅森神甫，他 后来成为笛卡儿的科学代理人。 同年秋天，笛卡儿带着一连串疑问，来到波埃顿大学攻读法律。 接触到更多的哲学和自然科学方面的书籍，他的思考更加深入了。 他认识到，以上帝为中心的经院哲学，既缺乏可靠的基础，它的推 理方法也大可怀疑。只有建立在公理基础上的数学推理，显示出元 懈可击的严密性，这才是了解事物的有力工具。和数学的证明相比， 哲学的、伦理的、道德的“证明”简直一文不值。不过他也觉
12、察 到，数学的工具远不是完美无缺的。欧几里得几何的每一个证明， 虽然严谨，使用起来却极不方便。证明中它往往要求某种新的甚至 是巧妙的想法，因此难于普遍推广。代数则由于受公式和法则的束 缚，使用方便但是缺乏想像力。所以他下决心要“寻求另外一种包 含代数和几何两门学科的好处而没有它们的缺点的方法”。 4年以后，笛卡儿以最优成绩获法学博士学位。他对学校里所 学知识的贫乏已经感到极不耐烦，虽然他曾孜孜不倦地为它付出过 艰巨的劳动。他再也不愿关在书房里，死啃于巴巴的教条。他决定 迈开双脚去“阅读世界这一本大书”。他感到只有到生活中去才能 找到基本的真理，而生活，应该在血和肉之
13、中，不是在出版商的纸 张和油墨里。 寻找真理 1616年秋天，一个阳光灿烂的早晨，笛卡儿和几个富家子弟一 起，离开家乡，来到花花世界巴黎。他要冲破封建教会禁欲主义的 束缚和少年时代在体力活动上的种种限制，尽情享受同他的年龄和 身份相称的年轻人的所有欢乐。赌博是当时绅士们一种时髦的娱乐， 似乎带有一种技艺竞赛的味道，它和数学还颇有些关系。好奇心驱 使笛卡儿对它作了一番精心的研究，很快成为“行家”。由于他料 事如神，使得庄家们一见他都暗暗叫苦。 赌博的小小成功没有给笛卡儿带来欢乐。俗不可耐的伙伴和花 天酒地的生活很快使他厌倦。他独自偷偷出走，在后来称为
14、圣·乔 门的郊区找了一个僻静的住所，关起门来研究数学。数学无与伦比 的严谨、精密与和谐令他心醉神往。他觉得，数学“提供了获得必 然结论和有效地证明这种结论的方法”，这是学校里灌输的经院哲 学所望尘莫及的。随着新教和天主教的争论日趋激化，任何权威都 可以随心所欲地左右经院哲学的结论，这已经不是什么秘密。他感 到数学的方法远远超出它的对象之外，只要对数学方法进一步提炼 和完善，就可以用来解决哲学、自然科学和其他领域的一切问题。 笛卡儿夜以继日地学习着，思索着，转眼就是两年。一天，他 在路上散步，不巧又被家乡同来的伙伴们发现。为了摆脱这群花花 公子没完没了的纠缠，他只得更
15、换住所。正好当时欧洲大大小小的 战争连绵不断，他决定随着扣人心弦的鼓号声去周游世界，体验生 活。这就开始了他的第一次军旅生涯。 笛卡儿首先来到荷兰，在奥兰治王室的莫里斯王子麾下接受训 练。这时候荷兰还是西班牙的殖民地，莫里斯王子继承威廉亲王的 事业，正在为从西班牙的手中赢得独立进行殊死的斗争。王子欢迎 笛卡儿的到来，可是不让他直接参加战斗。笛卡儿闲着无事，只好 独自在布雷达城里溜达。布雷达在荷兰西部，虽然不大，却还整洁； 街道两旁商店林立，行人摩肩接踵，相当繁华。 一天，笛卡儿看到许多人正盯着城墙上一块大告示牌，议论纷 纷。他初来荷兰，对荷兰文还不大精通。他
16、请身旁一位学者模样的 人把荷兰文译成法文或拉丁文。原来，这是一道挑战性的数学难题， 谁要是解答出来，不但可以得到一笔奖金，还将被授予“布雷达数 学家”的荣誉称号。那人瞧了笛卡儿一眼，以为这位满脸络腮胡子 的青年军官不过是凑凑热闹罢了。不料两天以后，笛卡儿带来了正 确的解答。那人不胜惊讶。在交谈中笛卡儿才知道，他原来就是当 时颇有名气的学者贝克曼。从此他俩一起讨论科学问题，成为亲密 的朋友。笛卡儿从这次成功中看到了自己的数学才能，更加激起他 钻研数学的热情。 在荷兰，笛卡儿既体验不到冲锋陷阵的激动和兴奋，也得不到 沉思默想所需要的安静。布雷达兵营里的和平生活和巴黎游乐
17、场一 样吵闹烦人。这时候正值巴伐利亚选侯对波希米亚开战。于是，笛 卡儿脱下军装。匆匆赶到德国，精神抖擞地投到这位选侯军旗下， 去迎接剑和火的考验。 三个奇怪的梦 冬天，战事平静。军队驻扎在多瑙河边一个叫诺伊堡的小村庄 附近。这儿空气清新，风景如画，令人心旷神怡。笛卡儿倚在山上 的栗子树下，眺望着远处波光粼粼的多瑙河蜿蜒向东流去。河面上 点点白色帆影，宛如镶在蓝色绸带上晶莹的珍珠。笛卡儿终于得到 他一直在追求的安静和休息。 1619年11月10日，正是圣·马丁节前夕。营房里张灯结彩， 热闹非凡。夜深了，整个兵营仍然灯火通明，不时爆发出哄笑声和 激昂
18、的歌声。官兵们一心想用葡萄酒的香味和喧闹声来驱散死亡的 阴影。这时候，笛卡儿正独自徘徊在乡间小道上，苦苦思索着日夜 萦绕于他脑际的哲学和数学问题，用“心智的全部力量，来选择我 们应遵循的道路”。只有如水的月光深情地照着他的背影，默默地 陪伴着他。等他回到兵营，其他人已经烂醉如泥。笛卡儿自己也疲 惫不堪，顾不得周围如雷的鼾声，很快进入梦乡。 就在这个夜晚，笛卡儿连续做了三个印象深刻的梦。他自己说， 这些梦改变了他整个生活的方向。笛卡儿先梦到他从教堂的隐蔽处 被一阵大风刮到一个地方，在那里大风对他无能为力。第二个梦是 他遇到一场可怕的风暴，风暴看起来非常吓人，可是对他毫无
19、伤害。 最后，他梦到自己在大声朗诵奥生尼的诗句：“我应遵循哪条生活 之路?” 人类对于梦，的确还存在不少难解的谜。不过，笛卡儿的梦无 疑是他对盘桓在心中的哲学和数学问题长期紧张思考的结果。俗话 说：“日有所思，夜有所梦。”就像牛顿看到苹果落地，瓦特看到蒸 汽冲开壶盖一样，梦中的情景突然启发了笛卡儿的灵感。“连做梦 也在想”——笛卡儿的坐标几何正是在这种情况下诞生的。 早晨醒来，笛卡儿脑海中还浮现出梦境中的情景。他异常兴奋， 一反常态，一骨碌就起身下床。他一会儿拿起笔来做做计算，一会 儿在房间里踱步沉思。后来他对别人说，他的梦像一把打开自然宝 库的钥匙。这把
20、钥匙是什么?笛卡儿没有明确向别人透露过。不过 一般相信，这至少是把代数应用于几何，这是坐标几何或者按早先 的称呼是“解析几何”的一种简单说法；或者更一般地，是用数学 来探索一切自然现象，这就是后世的数学物理学。于是，1619年11 月10日就成为坐标几何的光荣诞生日，也可以说是近代数学的伟大 诞辰。不过坐标几何的思想还要经过整整18个寒暑，才正式公诸于 世。 我只要安静和休息 中国政治家诸葛亮有一句名言：“非宁静无以致远”。意思是只 有宁静的心情和环境，才能使思想深邃，目光远大。笛卡儿也不止 一次说过：“我只要安静和休息。”可惜和他的愿望相反，笛卡儿
21、的 身体和脑子一样，没有一刻停息。圣．马丁节前夕的三个梦，启示 他坐标几何的基本思想，不过他并不急于整理发表。他渴望投身到 生活的海洋中去体会人生的意义。 1620年春天，笛卡儿参加有名的布拉格之役，经历了几次真正 的战斗。第二年，他对倥偬的戎马生活感到厌倦。不过，巴黎同样 引不起他的好感。那里炮火连天，瘟疫流行。只有北欧，既太平又 洁净。笛卡儿变卖了财产，身边只留下一名童仆，决定去那里一游。 事情安排停当，就雇了一条海船前往北海的东弗里西亚群岛。不料 船上的水手是一伙歹徒。他们见乘客是位气宇轩昂、风度翩翩的法 国上流社会绅士，心中不由暗暗高兴。只见他身穿入时的波纹
22、绸上 衣，戴一顶插了两根漂亮的鸵鸟羽毛的大檐帽，手里玩弄着一把和 他身份相称的宝剑。他身后跟着一个乳臭未干的小仆人，背着一个 沉甸甸的箱子，看样子油水不少呢!这真是天赐的良机，他们打算 劫掠笛卡儿的财物，然后把主仆两个扔下海去喂鱼。可惜他们没有 料到，这位雍容华贵的绅士竟是个语言学大师。他完全懂得他们私 下的谈话。没有等他们准备就绪，笛卡儿唰地拔出寒光闪闪的宝剑， 逼着他们把船驶返原地。一时被吓得不知所措的歹徒，只好乖乖听 命。笛卡儿幸运地逃脱了死亡的一次突然袭击! 第二年冬天，笛卡儿悠悠自在地来到罗马游览。这些日子，这 个罗马天主教廷所在地车水马龙，熙来攘往，热闹
23、得像一锅沸腾的 开水。大街小巷，戴假面具的，玩杂耍的，载歌载舞的，应有尽有， 目不暇接。天主教会正热烈筹办每一百年举行一次的盛大庆典。笛 卡儿接触到从欧洲各地来接受罗马教皇祝福的普通老百姓。只可惜 他没有见到伽利略。要是这两位当代最伟大的巨人能促膝晤谈一两 个星期，各自一定能从对方的思想中大大得益。 如果说笛卡儿早期的生活受教会学校影响，偏重于独自冥思苦 想，因此有时候难免犹豫彷徨和耽于空想，那么现在，在无所不包 的社会大课堂里，他不止一次地体验过刀光剑影的生死搏斗，也领 略到大自然的无比和谐与壮丽。他曾经久久徘徊在伟大历史遗迹的 脚下，也在神工鬼斧的艺术宝库中留连
24、忘返，尤其是和哲人名士、 能工巧匠广泛的思想交流，大大开阔了笛卡儿的视野。他的思想变 得充实了，信念更坚定了。 意大利旅游归来，笛卡儿又心血来潮，跟随萨伏依公爵经受了 一次血的洗礼。他在战场上表现得这样出色，以致为了表彰他的功 绩，公爵一定要授予他中将军衔。笛卡儿谢绝了这一诱人的荣誉。 他心里明白，他上战场浴血奋战就像到各地观光游览，只是为了体 验生活，了解人生和在紧张的科学思考之余调剂精神。告别了惘然 若失的萨伏依公爵，笛卡儿来到巴黎。 这时，笛卡儿还没有发表过任何作品。不过，他的思想已经通 过学术界有影响的朋友们的介绍和传播，遐迩闻名。登门求教和慕 名
25、来访的崇拜者络绎不绝。得不到安静和休息，使笛卡儿很苦恼。 他再一次来到战场寻找慰藉。这次是和法国国王一起去攻打新教胡 格诺派的据点拉罗谢尔。在那里，他结识了路易十三的宰相、红衣 主教黎塞留。这位主教大人的活灵活现的形象，读者可以从大仲马 的名著《三个火枪手》中看到。他后来为笛卡儿做了件好事，不过 并非出于自愿。 战争结束，笛卡儿胜利回到巴黎。这时他已32岁。只是由于奇 迹般的幸运，他的性命才没有被死神夺走，他的思想才不致被湮没。 布拉格或拉罗谢尔的一颗流弹，本来可以轻易地剥夺笛卡儿的历史 地位。他开始意识到，如果要达到自己的目标，现在是着手工作的 时候了。
26、 这，就是我的书 当时的法国内乱不断，宗教传统势力强大，虽然笛卡儿处处检 点自己的言行，他深深感到，在这里没有他活动的余地。他决定再 到荷兰去。不是那里的气候更适宜于他的思考，只因为荷兰社会相 对安定，资产阶级的影响比较大，是当时欧洲惟一具有思想自由的 国家。在历史上：提倡唯物主义的英国哲学家霍布斯的书只能在荷 兰自由刊印；洛克为了逃避保皇党的迫害，来到荷兰避难。荷兰哲 学家斯宾诺莎要不是在荷兰，恐怕就难以著书立说。笛卡儿的著作 也几乎都是在荷兰完成的。有整整20年，他的足迹遍布整个荷兰， 他时而在偏僻的小山村默默隐居，时而在乡镇旅店或大城市的冷静 角落潜心思
27、考。无论在哪里，他总和某个大学或者图书馆相距不远， 以保证必要的工作条件。除了哲学和数学，他还观察天象，考查冰 河，计算山高，解剖动物，研究胚胎发育。 有一天，老朋友贝克曼来访问他，敲了几次门都没有人应声。 一看，房门只虚掩着，笛卡儿在里面卷起袖子，正专心致志地磨着 一把明晃晃的尖刀。笛卡儿看到来客满脸狐疑的神情，就指着身旁 一筐正待解剖的兔子说：“这，就是我的书。” 和伽利略一样，笛卡儿主张科学要从事实出发，并且应用于实 践，坚决反对当时科学界普遍存在的脱离生活、脱离实际、钻在故 纸堆里寻找学问的现象。据说，法国启蒙思想家狄德罗临终留下的 最后一句话是：“
28、怀疑是向哲学迈出的第一步。”笛卡儿早已迈过了 这一步。他已经摆脱求学时代对知识的怀疑。通过研究和考察，他 不但认识到可靠知识的存在，还提炼出得到这些知识的有效方法。 更进一步，他召号人们用它们来为人类造福： “获得对生活非常有用的知识是可能的。和学校里所教的纯思 辨哲学不同，我们能够发现一个实用的哲学。通过这种哲学，当我 们像了解手工艺人的各种工艺一样，清楚地了解到火、水、空气、 恒星、宇宙和所有围绕着我们的物体之间的作用和力以后，我们同 样也能够把这些规律运用于它所适宜的各种用途，从而使我们自己 成为大自然的主人和占有者。” 正是基于这种信念，笛卡儿创造了
29、新的几何。他说： “我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑 那些仅仅是用来训练思维的问题。我这样做是为了研究另一种几何， 即目的在于解释自然现象的几何。” 笛卡儿并没有就此止步。他还把他的思想推广到科学的其他领 域。到20世纪，任何人要是把精力花费在笛卡儿涉猎到的那么多科 目上，大概只能成为一个样样稍通、样样稀松的“万能博士”。笛 卡儿的时代不是这样。在那个时代，一个有才能的头脑有希望在几 乎一切科学领域里取得成就。作为坐标几何的创始人和唯理论哲学 的奠基者，笛卡儿还发现光的折射定律；首创神经传导和反射机能 的学说；建议帕斯卡做真空试验；……形
30、形色色的问题，一经笛卡 儿的头脑和双手，就会产生有意义的成果。特别值得一提的是他关 于生物学的思想。他用热、水力、管道、活塞和杠杆的机械作用， 来解释人和其他动物的生命。从今天的观点来看，这未免过于简单， 但是在当时，这无疑是项非常了不起的成就。理性闯进了这个历来 由神秘和迷信牢牢统治的禁区，为近代生物学奠定了基础。 利用拉弗莱舍的老朋友梅森神甫做中间人，笛卡儿和欧洲著名 学者进行数量庞大的哲学和科学的通信。只有梅森知道他在荷兰的 住址。通过这位神甫，巴黎近郊幽深的明尼兹修道院的一间小小的 休息室，成了阅读笛卡儿的来信、进行热烈讨论和争辩的学术中心。 笛卡儿的哲学和
31、科学思想，像一股春风，吹绿了被封建专制和教会 势力冰封的欧洲大地。 教皇和哥白尼 虽说已经是4月，窗外还纷纷扬扬地飘着雪花。书房壁炉里劈 劈拍拍地窜着诱人的火苗，笛卡儿正夜以继日地对一部名为《论世 界》的杰作进行最后的润色。他要补充《圣经》中上帝6天创造世 界的不足，提出一个宇宙漩涡学说来解释行星是怎样转动不息并且 保持在环绕太阳的轨道上的。用数学和力学知识来解释混沌初开以 后宇宙天体的运动和变化，无疑是天文学上伟大的尝试。至于宇宙 起源，那时还没有多少观测的基础，议论起来难免猜测和想像多于 观测事实。 《论世界》是笛卡儿给梅森的新年礼物。神甫看过它的部分
32、章 节，但是没有读过整部作品。巴黎的知识界也翘首盼望它的出版。 不过在最后定稿以前，笛卡儿想看一看伽利略的新作。当时伽利略 相信教皇乌尔班八世是友好的，认为可以大胆说话了，1632年出版 了《关于两大世界体系的对话》一书。一位意大利朋友答应送他一 部。不料新书没有收到，却传来晴天霹雳：尽管和有势力的托斯卡 纳公爵很有交情，1633年6月22日，70高龄的伽利略还是屈辱地 被迫向罗马教廷异端裁判所下跪宣誓：放弃哥白尼的学说。哥白尼 的日心说是对鼓吹“地球是宇宙中心”的宗教统治的沉重打击。要 是伽利略拒绝发假誓，将会有怎样的下场，笛卡儿只能推测。他想 起宣传宇宙无限思想的布鲁诺
33、1548—1600)被烧死在罗马鲜花广场 的命运。这使他不寒而栗。因为在《论世界》里，哥白尼的日心说 被看做是一个理所当然的事实。他坚信哥白尼的学说就像坚信自己 的存在。如果伽利略为了温和的“异端”思想要被迫下跪，那么他 还能期望什么呢? 笛卡儿决定不发表《论世界》，不发表他的一切著作。这不仅 是因为害怕，原因要复杂得多。他是虔诚的教徒。他既相信哥白尼， 也相信教皇。要他放弃教皇和放弃哥白尼一样不可能。教皇和哥白 尼学说中的冲突，暴露出笛卡儿思想上的深刻矛盾。可惜他这一回 不打算追根究底，准备妥协。他想把《论世界》推迟到死后发表。 他安慰自己，到那时候教皇乌尔班八
34、世大概已经咽气，新教皇也许 不会像徒有“好学重才”虚名的乌尔班八世那样粗暴地对待科学了。 其实，笛卡儿担心的迫害并没有降临。尽管信奉新教的神学家 们猛烈抨击笛卡儿，骂他是无神论者，是危险分子，在拉罗谢尔战 场上和笛卡儿结识的红衣主教黎塞留下令，无论在法国或者国外， 笛卡儿只要愿意写，他的任何著作都可以发表。看来颇有点使人费 解，天主教会怎么对待笛卡儿和对待伽利略的态度迥然不同。难道 是教会对笛卡儿个人表示特殊的恩宠?当然不是。对于危及教会统 治的“异端邪说”，教会从来不懂得什么叫宽容。黎塞留对笛卡儿 著作的“恩准”，只是因为他对笛卡儿的某些表现产生一时的错觉。
35、 作为伟大的思想家，笛卡儿无疑看到了封建制度和宗教统治的 种种黑暗和弊端。但是当时的资产阶级毕竟比较幼弱，资产阶级革 命还处在思想准备阶段，没有能力起来夺取政权。他发觉，除了思 想以外，其他的一切都不是他自己力所能及的。为了清静无扰地进 行研究，他不愿意去惹麻烦。他在教会和教士们面前，表现得谦恭 温顺，并且给他自己规定了一套《暂行的行为准则》： “服从我国的法律和习惯，笃信上帝恩赐我从小就领受到的宗 教信印，……只求克服自己，不求克服命运；只求改变自己的欲望， 不求改变世界的秩序。” 这类忠心耿耿的表示，大大麻痹了教会对他的警惕。但是随着 笛卡儿著作的陆续
36、发表，尽管他把自己的观点表达得隐晦含蓄，尽 量不直接触犯基督教的教义，国王和教会还是看出，笛卡儿的学说 是对封建王权和宗教统治的严重威胁。笛卡儿说他笃信宗教，原来 是因为他对宗教有了怀疑；笛卡儿声称他不求改变世界的秩序，正 因为他存在改变现存秩序的强烈欲望!不难想像，他们是何等的恼 怒和懊丧。可是，等到他们气急败坏地向笛卡儿举起屠刀的时候， 心中并不稍感舒畅，因为这位封建和宗教的叛逆者已经长眠于九泉 之下了。 《方法谈》问世 1637年是科学史上一个重要的年头。经不住朋友们的反复劝 说，那一年夏天，笛卡儿终于同意把他的杰作《更好地指导推理和 寻求科学真理的
37、方法谈》(简称《方法谈》)，在莱顿匿名出版。这是 他公开发表的第一部著作，也是他一生最伟大的著作。 笛卡儿在《方法谈》中精辟地阐述了自己的科学思想。他提倡理性，提倡科学，主张把科学应用于实践，为人类造福。他反对迷信， 反对教条，摒弃脱离实际的烦琐哲学。这些主张反映了17世纪法国 资产阶级反对封建主义、发展生产、发展科学的历史要求。笛卡儿的 科学思想对17世纪有决定性的影响。他和伽利略一起，改变科学中 的方法论，重新规定科学活动的目标，不仅使科学得到空前伟大的 力量，而且把科学和数学紧紧结合起来了。如果没有这种革命性的 突破，近代科学要取得这样的惊人成就是不可想像的。
38、 在《方法谈》的附录中收编了笛卡儿的3篇重要论文：《屈光 学》、《陨星》和《几何学》，其中《几何学》一文，介绍了他长期 酝酿形成的坐标几何的思想。虽然在荷兰的通信中他传播了许多数 学思想，《几何学》却是他写的惟一的数学著作。 脱离了中世纪襁褓的欧洲，经过文艺复兴运动的推动，科学技 术有了很大的发展。开普勒发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆的； 伽利略认识到子弹从塔上平射出去的轨道是抛物线；物体本身的形 象和物体运动的轨迹也大都是曲线。对这些曲线进行定量研究已经 成为迫切的需要。笛卡儿毕生致力于寻找一种“包含代数和几何两 门学科的好处而没有它们的缺点的方法”来解释自然
39、现象，他正是 在这种历史背景下发明了坐标几何。 开始，笛卡儿仿照韦达，用代数方法分析确定的作图问题。进 一步，他研究不确定的问题。这就产生了变数的思想。答案也就由 点变成具有特定性质的曲线。在代数上相应得到关于已知任意长度 x和未知长度y的方程。这样就把几何图形和代数方程联系起来了。 在这个过程中，笛卡儿建立了坐标系。他最早建立的坐标系是斜坐 标系，而且x和y只取正值，因此，图形局限在第一象限内。不过 笛卡儿已经知道，坐标系选取得好，可以简化曲线的方程，而图形 的几何性质和坐标系的选取无关。后来他研究了一些具体的曲线类 型，也相应地致力于代数方程理论的研究，得到不少
40、有意义的结果。 经过后人的发展，就有了今天中学里的解析几何。在坐标系里， 一对有顺序的实数对应着平面上的一个点；一个二元方程对应着平 面上的一条曲线。于是，研究这些曲线就可以用研究相应的方程来 代替。这正是坐标几何的基本思想。 把“数”和“形”紧密联系在一起的坐标几何，成为一把锋利 无比的双刃刀。几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代 数达到；反过来代数语言有了几何的解释，可以直观地掌握这些语 言的意义，从中得到启发去提出新的结论。从此以后，数学就以前 所未有的速度趋向完善。可以说，17世纪以来数学的巨大进展，在 很大程度上要归功于坐标几何的创立。
41、 我们在学习解析几何的时候知道，一条直线和一个圆或相割或 相切或相离，代数上相应的二元二次方程组分别有两个实数解、惟 一实数解、没有实数解，这使我们对几何和代数两方面的问题都有 了清晰的认识。我们再举一个例子来说明代数和几何结合起来的好 处。在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线， 很难看出它们之间有什么内在的联系。可是从代数上说，它们的方 程却有二元二次方程这种统一的形式： Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 当方程的系数适合B2-AC<0时，它表示椭圆；当B2-AC=0时， 它表示抛物线；当B2-AC>0时，它表示双曲线。代数式B2
42、AC 值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数 上的区别只在于方程系统B2-AC的正负号!根据这个分析，我们 就不难理解，为什么当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度的时 候，卫星的轨道是抛物线；小于第二宇宙速度的时候，轨道变成椭 圆；而大于第二宇宙速度的卫星轨道就成了双曲线的一支。 笛卡儿的坐标就是变量。由于代数问题中变量数目不受限制， 物理意义各种各样，后来产生了在科学上极为重要的n维空间的概 念。n=2时可视为平面的几何；n=3时可视为空间的几何；n=4 时，可解释为空间三个坐标加上时间这个变量而得到经典力学和相 对论的几何。n维空间就超出了生
43、活在三维空间的人们的几何直观。 所以笛卡儿不是改造几何，而是创立了一种新的几何，这种几何由 于它的抽象性，可以处理像分析电路网络或安排经济生活这样形式 极不相同的各种问题，因此比过去的几何具有无可比拟的优越性。 随着坐标几何的创立，以研究变量为重要特征的近代数学诞生 了。可惜，坐标几何的主要思想并没有立即被当时所有的数学家所 理解和接受。一个重要原因是，笛卡儿把《几何学》写得十分难 懂。虽然为了便于人们阅读，他用法文而不用学术界惯用的拉丁文 来写作，但是他故意搞了许多含糊不清的地方，为的是让“欧洲几 乎没有一个数学家看得懂他的著作”! 他解释说：“对于那些自命为 无
44、所不知的人，我如果写得使他们能充分理解，他们就会说，我所 写的都是他们已经知道的东西。”作图法和证明都写得极为简略。 他把自己比作建筑师，只制定计划，指出该做哪些工作，而把手工 操作留给木工和泥瓦匠。他说，这样做也是为了不剥夺读者自己进 行探索的乐趣。他在书中给出许多例题，但是删去多数定理的证明。 他认为只要仔细考查这些例题，定理就不难证明。他强调说，这样 来学习，效果更好。 《方法谈》开创了数学的新纪元，改变了科学的历史进程，也 为笛卡儿赢得了巨大的荣誉。这部巨著以其秀美清逸的文笔和巨大 的思想魅力吸引读者。它不但成为科学上的不朽名著，同时是哲学 和文学的经典著作
45、即使在非科学家中也大受欢迎。随着时间的推 移，《方法谈》越来越显示出它的极端重要性。人们纷纷来学习和 钻研它的思想，使这部杰作跻身于17世纪最出名、最有影响的著作 之列。 告别荷兰 1641年秋天以来，笛卡儿一直安静地住在靠近海牙的一个小村 庄。北海怒号的寒风伴随着咆哮的海浪，似乎更加适宜于他深入思 考。那一年，他发表了名著《形而上学的沉思》。在给梅森的信中 他这样写道： “我希望阅读这些沉思的人，不知不觉地习惯于我的原则，使 其在发现这些沉思推翻了亚里士多德之前，已经承认它们是真理。” 可惜笛卡儿并没有如愿以偿。远的不说，堂堂的荷兰乌德
46、勒支 大学校长读过以后不但不习惯笛卡儿的“原则”，还指控他是无神 论者。事隔不久，乌德勒支市议会甚至要求拘捕他。笛卡儿痛苦地 发现，原来荷兰也并不是科学家的世外桃源啊。他毫不客气地进行 反击，痛斥这群“不学无术的挡道者”。历史的潮流毕竟是阻挡不 住的。在荷兰和欧洲各界人士的声援下，市议会被迫撤销原议。 1644年，笛卡儿又一部重要著作《哲学原理》在荷兰出版。书 中详细讨论了物理学的运动定律和漩涡理论，其中包括了未发表的 《论世界》中的部分材料，不过他尽力修改得不致使教会暴跳如雷。 在笛卡儿哲学中，上帝虽然仍旧被认为是宇宙的创造者，但是作用 已经明显削弱，不再是万物的
47、主宰。上帝一旦创造了宇宙就不再干 预，听任万物按一定的自然规律去运动了。笛卡儿的机械唯物主义 哲学受到科学家的热烈欢迎，他那清秀典雅的文字，使《哲学原理》的精装本甚至成为贵妇人梳妆台上时髦的点缀品。 为了把《哲学原理》带进课堂，笛卡儿特地把它写成教科书的 形式。可是，他的希望又一次落空。荷兰加尔文教派对革命性科 学思想的仇视不亚于罗马天主教会。他们迫使乌德勒支法院下令禁 止在大学讲授笛卡儿哲学。不过，法院也不准他们著文攻击笛卡儿。 当然，笛卡儿的思想决不是法院一纸判决所能够扼杀的。他的著作 不仅在当时的欧洲，而且对后来的牛顿，都有巨大的影响。10年以 后，牛顿在剑桥大
48、学所学的哲学，正是笛卡儿的《哲学原理》，它 使牛顿认识到研究运动的重要性。 正当《哲学原理》在欧洲引起强烈反响的时候，笛卡儿在伊格 蒙过着悠然自得的隐居生活。他一边在园子里种种花草，一边沉思。 荣誉已经远远超过他想要的，但是他仍念念不忘哲学和数学的思考。 他和欧洲的知识界继续进行科学通信，而他的思想常常是根本性和 革命性的。 尽管笛卡儿已经年过半百，两鬓如霜，他还是那样倜傥不羁。 他曾经和几位女性有过超乎寻常的关系，不过他不愿以沉思默想所 必需的安静和休息去换取一位娇纵的妻子。有人因此说他心肠硬。 这有点道理。将军的荣誉他不屑一顾，妖艳的美色他无动于
49、衷。但 是他的仆人爱戴他。他们离开笛卡儿很久以后，笛卡儿依然关怀着 他们的生活。跟随他一块坐船去东弗里西亚的那个童仆，在笛卡儿 逝世以后哭泣了好几天。笛卡儿绝不是铁石心肠。他只是渴望安静 和休息。 但是笛卡儿企求的安静和休息总是不牢靠。瑞典的克里斯蒂娜 女王，已经听到了他的大名。这位年方19的女王，肌肉发达，结实 得像个伐木工人。她是个无情的猎人，还是个好骑手，据说对古典 语言也颇有造诣。她对寒冷的反应很迟钝。像蛰居的青蛙，她能够 在寒冬腊月不生火炉的图书馆里一动不动地坐上几个钟头。谄媚的 大臣们索性怂恿她把窗户打开，让美丽的雪花飘进来和她作伴。她 一天只需要5小
50、时睡眠，因此拍马屁的官员一天19个小时在她面前 像穿火圈似地跳跳蹦蹦。她对虚荣的渴望甚于对知识的追求。一看 到笛卡儿的著作，她就打定主意，一定要召这位爱睡懒觉的大哲学 家来当自己的指导教师。 如果笛卡儿没有丝毫的虚荣心，不为王室的尊贵荣耀所动，他 或许可以顶住女王的讨好；如果荷兰的加尔文教派比罗马天主教会 宽容，他也不会屈服于克里斯蒂娜的引诱。笛卡儿坚持到1649年春 天，当瑞典的海军上将亲自坐船来邀请，他还没有答应。他回到法 国，想为祖国服务。可是这时候正值法国内战爆发，教会也对他爱 理不理。笛卡儿只得怏快返回荷兰。到了10月，他终于改变主意。 他想，有尊贵的瑞典
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