一元二次方程的根与系数的关系-(4).docx

18.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标 知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。教学重、难点 重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。 难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。一、创设情景，引入新课 师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“”的值来判断一元二次方程的根的情况。 当“0”时，方程有两个不相等的实数根； 当“=0”时，方程有两个相等的实数根； 当“0”时，方程没有实数根。师：回答的真好。其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？生：想。师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.方程x1x2x1 +x2x1x2x2+3x+2=0x2+2x1=0x23x4=0 表格1师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。 生： 师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？ 生：x1 +x2 = p，x1x2 = q 师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？ 生：不一定。 师：为什么不一定呢？ 生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。 师：同学们观察的非常的仔细。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。方程x1x2x1 +x2x1x29x26x+1=03x24x+1=03x2+7x+2=02x2+x+1=0 表格2师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？生：学生认真思考，并回答。（学生总结的可能不是很全面，或者有的学生可能不能做出总结，要做适当的引导和补充）师：若一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？生：能。x1 +x2，x1x2。 师：我们的猜想是否正确呢？ 生：思考回答。 师：请同学们认真阅读课本34页，看看课本上是怎么证明它的正确性的。 设一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0)的两个根为x1、x2，. （学生1上黑板演示） （学生2上黑板演示）韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0，0)的两个根为x1、x2，那么，x1 +x2，x1x2。三、应用新知例1：已知关于x的一元二次方程x26=(k+1)x的一个根是2，求方程的另一个根和k的值。方法1：解：设一元二次方程x2 6=(k+1)x的另一个根为x1，原方程转化成一般式为：x2 (k+1)x 6=0，a=1,b= (k+1),c= 6由韦达定理，可知： x1 +2=k+1 2 x1 = 6 解得 x1 = 3 k = 2方法2：x=2代入原方程中得，4 2(k+1) 6=0 解得k = 2将k = 2代入原方程，得 x2 + x 6=0 (x+3)( x2)=0 x+3=0或x2=0 即x1= 3，x2=2答：方程的另一个根是3，k的值是2.例2：已知x1 +x2是方程x2 x =3的两个根，求x1 +x2，x1x2，x12 +x22及x1x2的值。 解：原方程转换成一般形式为：x2 x 3=0. 由韦达定理，可得 x1 +x2=1, x1x2= 3 x12 +x22=(x1 +x2)22x1x2=12(3)=7 (x1x2)2=(x1 +x2)24x1x2=14(3)=13 x1x2= 答：四、巩固新知，提高认知 课本36页，练习1,2,3,4.五、课堂小结 1、韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a0，0)的两个根为x1、x2，那么，x1 +x2，x1x2。（要特别强调a和的取值范围）。 2、韦达定理的应用： （1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。 （2）求关于两根的代数式的值。 六、课堂作业 课本36页，习题18.4 第一题和第三题。4