经济数学基础作业二讲评资料.doc

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《经济数学基础》作业( 二) 讲评
( 一) 填空题
1.若, 则.答案:
分析: 本题主要是考察原函数的概念, 由不定积分知, f(x)是F(x)的导数, 而F(X)是f(x)的一个原函数, 因此, 已知f(x)求其原函数是对f(x)求积分, 已知F(x)求f(x), 是对等式右端求导数。
正确解答:
2. .答案:
解:
分析: 本题主要考察导数( 微分) 与不定积分互为逆运算的性质。

可能出现的错误:
①, 没有用性质进行求解。
②, 注意, 我们的性质是先积分后求导结果为一个函数, 即被积函数, 先求导再积分结果为无穷多函数, 即被积函数加任意常数C。

分析: 本题主要考察不定积分是函数, 其对应关系可看成

其次考察凑微分这里的,
本题也是 1月的考题。

思考一下, 下面的例题结果是怎么求出的?

4.设函数.答案: 0
分析: 定积分是确定的数值, 因此对定积分求导数, 结果为0。
可能出现的错误: ①计算定积分。当然能做, 但计算量要大的多, 其结果还是0, 因此要明白定积分的结果是”数值”, 而常数的导数为0.
②, 将不定积分的性质用到这里。
③
5. 若, 则.答案:
分析: 本题主要考查变上限定积分的概念, 即变上限定积分结果是被积函数的原函数, 因此, 对变上限定积分求导数结果应是被积函数再乘以上限的导数。同时, 应注意: 交换积分上下限, 其结果应变号。

( 二) 单项选择题
1. 下列函数中, ( ) 是xsinx2的原函数．
A．cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-cosx2
答案: D
分析: 这道题目是求四个被选函数哪个是的原函数, 即哪个函数的导数为。
正确解答: 因为, 因此是的原函数, 即答案D正确。
选择A, 错误; 因为;
选择B, 错误; 因为;
选择C, 错误; 因为;

2. 下列等式成立的是( ) ．
A． B．
C． D．
答案: C
分析: 本题主要考查的是一些常见凑微分的类型:

有意识记住以上类型, 对下面的作业题( 不定积分的计算) 就容易掌握了。
3. 下列不定积分中, 常见分部积分法计算的是( 　 ) ．
A．, B． C． D．
答案: C
分析: A,B,D都是凑微分( 第一换元法) , 对这种常见且基本的积分计算题要熟练掌握, 是考试的重点

而C是分部积分, 同样, 对这种常见且基本的积分计算题要熟练掌握, 被积函数是幂函数与三角函数乘积的积分、 幂函数与指数函数乘积的积分、 幂函数与对数函数乘积的积分是考试的重点

4. 下列定积分计算正确的是( ) ．
A． B．
C． D．
答案: D
分析: 由定积分的几何意义我们有重要推论: 奇函数在对称区间的定积分结果为0, 故D对。
5. 下列无穷积分中收敛的是( ) ．
A． B． C． D．
答案: B
分析: 利用无穷积分的定义计算。
正确解答: , 收敛。因此B正确。
请记住结论: ( 1) , 当收敛, 当时发散;
( 2) 和, , 发散;
( 3) 当发散, 收敛; 当发散, 收敛。
如果能够记住上述结论, 就能够直接判断而免去计算。
(三)解答题
1.计算下列不定积分
分析: 熟练掌握基本积分公式是学好这部分内容的基础, 且要注意把公式中的x 当成u来背,熟练掌握基本积分方法: 直接积分法( 用公式和性质) ; 第一换元法( 凑微分) ; 分部积分法。
( 1) 答案:
分析: 将被积函数 变形为, 利用积分公式求解, 这里.
,
正确解法: ( 利用对数的性质,
可能出现的错误: ①不能将被积函数看成为, 因此不知用什么公式求积分;
②;
③用错公式, .
( 2) 答案:

分析: 注意利用不定积分性质去做, 即分项积分最简单, 这里还要注意把, 计算速度就会加快。
( 3) 答案:

( 4) 答案:
分析: 这是一个复合函数的积分计算, 采用的方法是凑微分法.这里, 则, 于是, 代入积分式中进行换元, 再对直接用公式求积分.
正确解法: =
=

可能出现的错误: ①不能正确地找出微分因子;
②用错积分公式, 如=
=

( 5) 答案:

( 6) 答案:

( 7) 答案:

( 8) 答案:
分析: 这是用分部积分法计算积分的题目, 且

注意这里用到了”在分子加1减1”的技巧。
2.计算下列定积分
( 1) 答案:
解: ==
=.
分析: 注意到被积函数是一个带有绝对值的函数, 积分时必须把绝对值符号去掉, 根据绝对值函数的定义, 就要看看在积分区间是否有变号( 即由正变负或由负变正) 的情况.
因为, 即是使函数改变符号的点, 因此利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和, 即
=
可能发生的错误: ①=, 这是将等同于, 需要指出的是, 定积分中的积分变量是与积分区间有关的, 积分区间的不同, 可能被积函数的表示式就不同, 此题就是一个典型的例子; ②计算错误.
( 2) 答案:

( 3) 答案: 2

分析: 这是一个换元积分法求积分的题目, 其中, , 设法将积分函数变为, 然后对求积分即可.
( 此法没有换元, 因此就不用换限)
方法二: 换元换限, 令, 当时, 当时, 于是

=
注意, ①定积分的换元积分法进行计算时, 换元一定要换限, 积分变量要和自己的积分限相对应, 此题中, 变量的区间是, 而变量的积分区间是.
②在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、 下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值.
可能出现的错误: ①换元不换限;
②计算错误, 如, 正确的是: ;
③公式用错, 没有把视为.
( 4) 答案:
解: =

分析: 这是用分部积分法计算积分的题目, 且, 得出.

可能出现的错误: ①由得出, 注意是的一个原函数, 当你写出时, 要求导, 验证一下是否正确.
②三角函数值计记错; 正确的是, ;

( 5) 答案:

分析: 这是幂函数与对数函数乘积的积分, 一定要记住公式:

例: 直接看成分部积分公式去做。
( 6) 答案:

分析;做完上述作业, 要熟练掌握基本积分方法, 特别是第一换元积分法(凑微分)和分部积分, 这是我们教学和考试的重点。下面是近年考题, 由此看出作业的重要性( 有的就是作业题, 有的与作业大同小异) 。