1、第四章 向量组的线性相关性4-1 向量组的线性相关性一.选择题答案：1. D 2.C 3.D 4.A 二. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.三. 设b1=a1, b2=a1+a2, , br =a1+a2+ +ar, 且向量组a1, a2, , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, , br线性无关. 证明 已知的r个等式可以写成,上式记为B=AK. 因为|K|=10, K可逆, 所以R(B)=R
2、(A)=r, 从而向量组b1, b2, , br线性无关.4-2 向量组的秩一.选择题答案：1.B D 2.D 3.A二.求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示.解 一个最大无关组。且三. 已知向量，求该向量组的秩；讨论它的线性相关性；求出它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表出解： 该向量组的秩等于，它是线性相关的,它的一个最大无关组为.且。4-3 线性方程组解的结构一.选择题A1 B2 C3 D4答案：1.C D 2.B二.填空题答案：1. 1 2. 其中为任意常数 3. n r三. 解当时有解；进一步化为行最简形为： ，所以通解为，其中为任意常数四.解
3、：通解为，其中为任意常数第四章 复习题一.判断题答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 二解向量组的秩为3，是一个最大线性无关组，并且 ，三求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解:1. 解 基础解系为: ，故原方程组的通解为(其中为任意常数.)2. 解 基础解系:.故原方程组的通解为(其中为任意常数.)四 解 方程组的通解为: (为任意常数)第四章 自测题一、填空题答案：1 2 -2 3 2 4 相关 5 6 7 1二、选择题答案：1 B 2B 3 D 4D 5 D 三、 解当且时，方程组无解 当时，方程组有唯一解当且时，方程组有无穷多解.四、 解，所以当或时，线性相关。
4、当时，为最大线性无关组，且时，为最大线性无关组，且五、，所以当时线性方程组有解；进一步化为行最简形：则特解为：导出组的基础解系为：所以方程组的通解为： 为任意常数。六设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,从而 b1-b2+b3-b4=0, 这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.第五章 相似矩阵及二次型5-
5、1 向量的内积、长度及正交性1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1) 解 根据施密特正交化方法, , , . 5-2 方阵的特征值与特征向量答案：1. D. 2. C 3. C 4. 求下列矩阵的特征值和特征向量.解：所以：，分别代入其次线性方程组中得到对应的基础解系为： ，所以对应的特征向量分别为：（）5. 解：比较两边得：，所以：所以：6.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=12(-3)=-60, 所以A可逆, 故 A*=|A|A-1=-6A-1, A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j
6、(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)| =j(1)j(2)j(-3)=-15(-5)=25. 5-3 相似矩阵 对称矩阵的对角化答案：1A 2.CD 3.A 4. 解 令 5. 解： ，所以：，分别代入齐次线性方程组得到基础解系为：单位化为：，所求正交矩阵为：，且。6.解：所以：；把代入，解得基础解系分别为： 和 将 正交化，得：令令，则7. 解：设三阶实对称矩阵有特征值，则矩阵的特征值为；又因，所以，由题可知，是其二重特征值，所以另外一个特征值为：，设其对应的特征向量为：，则与正交，所以：，取，令
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