1、第四章 向量组的线性相关性
4-1 向量组的线性相关性
一.选择题
答案：1. D 2.C 3.D 4.A
二. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T;
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为
,
所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
三. 设b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量组a1, a2, × × × , ar线性无关, 证明向量组b1, b2,
2、× × × , br线性无关.
证明 已知的r个等式可以写成
,
上式记为B=AK. 因为|K|=1¹0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1, b2, × × × , br线性无关.
4-2 向量组的秩
一.选择题
答案：1.B D 2.D 3.A
二.求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示.
解 一个最大无关组。且
三. 已知向量，，，．求该向量组的秩；讨论它的线性相关性；求出它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表出．
解：
该向量组的秩等于３，它是线性相关的,它的一个最大无关组为.且。
3、
4-3 线性方程组解的结构
一.选择题
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：1.C D 2.B
二.填空题
答案：1. 1 2. 其中为任意常数． 3. n – r
三.
解当时有解；进一步化为行最简形为：
，所以通解为，其中为任意常数．
四.解：
通解为，其中为任意常数．
第四章 复习题
一.判断题
答案：1.√ 2. √ 3. × 4. × 5. × 6. √ 7. √ 8. × 9. √
二
解向量组的秩为3，是一个最大线性无关组，并且
4、 ，．
三．求下列齐次线性方程组的一个基础解系及通解:
1.
解
基础解系为: ，
故原方程组的通解为(其中为任意常数.)
2.
解
基础解系:.
故原方程组的通解为(其中为任意常数.)
四．
解
方程组的通解为: (为任意常数)
第四章 自测题
一、填空题
答案：1． 2． -2 3． 2 4． 相关 5．
6． 7． 1
二、选择题
答案：1． B 2．B 3． D 4．D 5． D
5、
三、
解
当且时，方程组无解
当时，方程组有唯一解
当且时，方程组有无穷多解.
四、
解
，所以当或时，
线性相关。
当时，为最大线性无关组，且
时，为最大线性无关组，且
五、
，所以当时线性方程组有解；进一步化为行最简形：
则特解为：
导出组的基础解系为：
所以方程组的通解为： 为任意常数。
六．设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.
证明 由已知条件得
a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4
6、 a4=b4-a1,
于是 a1 =b1-b2+a3
=b1-b2+b3-a4
=b1-b2+b3-b4+a1,
从而 b1-b2+b3-b4=0,
这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.
第五章 相似矩阵及二次型
5-1 向量的内积、长度及正交性
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1) 解 根据施密特正交化方法,
,
,
.
5-2 方阵的特征值与特征向量
答案：1. D. 2. C 3. C
7、
4. 求下列矩阵的特征值和特征向量.
解：
所以：，分别代入其次线性方程组中得到对应的基础解系为： ，
所以对应的特征向量分别为：（）
5. 解：
比较两边得：，所以：
所以：
6.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|.
解 因为|A|=1´2´(-3)=-6¹0, 所以A可逆, 故
A*=|A|A-1=-6A-1,
A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.
令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故
8、
|A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)|
=j(1)×j(2)×j(-3)=-1´5´(-5)=25.
5-3 相似矩阵 对称矩阵的对角化
答案：1A 2.CD 3.A
4.
解 令
5.
解： ，所以：，分别代入
齐次线性方程组得到基础解系为：
单位化为：，所求正交矩阵为：
，且。
6.解：
所以：；
把代入，解得基础解系分别为：
和
将 正交化，得：
令
令，则
7. 解：设三阶实对称矩阵有特征值，则矩阵的特征值为；
又因，所以，由题可知，是其二重特征值，所以另外一个特征值为：，设其对应的特征向量为：，则与正交，所以：，取，令
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