2015、2016高考试题概率统计专题.doc

2015、2016高考试题概率、统计专题
1.（2015北京卷16），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

2.（2015福建卷16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.

3.（2015湖北卷20） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

4.（2015湖南卷18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.

5.（2015陕西卷19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：
（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10
（I）求的分布列与数学期望；
(II) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

6.（2015四川卷17）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（I）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（II）某场比赛前。从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

7.（2015天津卷16）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I) 设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；
(II) 设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

8.（2016北京卷16） A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（I） 试估计C班的学生人数；
（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）

9、（2016山东卷19）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.

10.（2016天津卷16）） 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.

2015、2016高考试题概率、统计专题参考答案
1.（2015北京卷）解：设时间为“甲是A组的第i个人”，时间为“乙是B组的第i个人”，i=1,2，…，7.
由题意可知, i=1,2，…，7.
（Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是：
（Ⅱ）设时间C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，
C=.
因此
=10=10=
（Ⅲ）a=11或a=18
2.（2015福建卷）解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）==p
（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3
又，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P

所以.
3.（2015湖北卷） 解：（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有
第3题解答图1
第3题解答图2
第3题解答图3
1）
目标函数为 ．

当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为.
将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
故最大获利的分布列为

8160
10200
10800

0.3
0.5
0.2
因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

4.（2015湖南卷）解：（Ⅰ）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且=，=+，C=+.
因P（）==，P()==，所以P（）=P()=P()P()==，
P（）=P（+）=P（）+P（）=P（）(1- P())+(1- P（）)P()
=(1)+(1-)=，故所求概率为P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.
（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X~B（3，）.
于是： P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P

X的数学期望为 E（X）=3=.
5.（2015陕西卷）解：（I）由统计结果可得T的频率分布为
（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为

25
30
35
40

02
0.3
0.4
0.1
从而 （分钟）
(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一：
.
解法二：

故.
6.（2015四川卷）解：（I）由题意，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全从B中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为
因此，A中学至少1名学生入选的概率为.
（II）根据题意，X的可能取值为1，2，3.
， ， ，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P

因此，X的期望为
7.（2015天津卷）解：（I）由已知，有：，所以，事件A发生的概率为.
（II）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

1
2
3
4

所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
8.（2016北京卷）解：（I）由题意，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名，根据分层抽样的方法，
C 班的学生人数估计为：
（II） 设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，，事件为“乙是现有样本中班的第个人”， ， 由题意可知，，

设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，有

所

（III）
9、（2016山东卷）解：记事件A：“甲第一轮猜对”， 事件B：“乙第二轮猜对”， 事件C：“甲第二轮猜对”，
事件D：“乙第二轮猜对”， 事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”，由事件的独立性与互斥性，有

所以，“星队至少猜对3个成语”的概率为.
(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得
,,
,
, ,
.
可得随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
6
P

所以数学期望.
10.（2016天津卷） 解：（Ⅰ）由已知，有
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为
， ， .
所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.
9