《2.6-平面向量数量积的坐标表示》同步练习3.doc

《2.6 平面向量数量积的坐标表示》同步练习3
双基达标　(限时20分钟)
1．若a＝(2，－3)，b＝(x，2x)，且3a·b＝4，则x等于(　　)．
A．3 B. C．－ D．－3
解析　3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－.
答案　C
2．平面上有三个点A(2，2)，M(1， 3)，N(7，k)，若∠MAN＝90°，则k的值为(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析　因为＝(－1，1)，＝(5，k－2)，·＝0，所以－5＋(k－2)＝0，即k＝7.
答案　B
3．已知向量a＝(1－1)，b＝(1，2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝(　　)．
A．(2，1) B．(1，0)
C. D．(0，－1)
解析　设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
∴解得x＝2，y＝1.∴c＝(2，1)．
答案　A
4．与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是________．
解析　设满足题意的向量为e＝(x，y)，则联立可求．
答案　或
5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝________.
解析　法一　设b＝(x，y)，∵|b|＝＝1，
∴x2＋y2＝1
∵a·b＝x＋y＝，∴x2＋[(1－x)]2＝1.
∴4x2－6x＋2＝0，∴2x2－3x＋1＝0，
∴x1＝1，x2＝.∴y1＝0，y2＝.
∵(1，0)是与x轴平行的向量，∴b＝.
法二　设b＝(cos α，sin α)，α∈(0，2π)．
∵a·b＝cos α＋sin α＝，∴2sin＝，
∴sin＝，∵0＜α＜2π∴＜α＋＜2π＋，
∴α＋＝，
∴α＝－＝.∴b＝＝.
答案　.
6．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
解　法一　设向量b＝(x，y)，则＝a－b＝，＝a＋b＝.
由题意可知，·＝0，||＝||从而有：

解之得或
所以b＝或b＝.
法二　设向量b＝(x，y)，依题意，·＝0，||＝||，则(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，所以|a|＝|b|，a·b＝0，所以向量b是与向量a长度相同且相互垂直的向量，即有解得或
所以b＝或b＝.
综合提高　(限时25分钟)
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，则x＋y的值为(　　)．
A．0 B．2 C．4 D．－4
解析　∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴x＋y＝0.
答案　A
8．已知非零向量和满足·＝0，且·＝，则△ABC为
(　　)．
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
解析　由·＝0⇒∠BAC的角平分线与BC垂直，∴△ABC为等腰三角形，∵·＝，
∴∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．
答案　D
9．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，2b－a＝(－1，1)，则cos θ＝________.
解析　设b＝(x，y)， 则2b－a＝(2x，2y)－(3，3)＝(2x－3，2y－3)＝(－1，1)，∴2x－3＝－1，2y－3＝1，得x＝1，y＝2，
∴b＝(1，2)，则cos θ＝＝＝
＝＝.
答案　
10．已知2a＋b＝(－4，3)，a－2b＝(3，4)，则a·b的值为________．
解析　由已知可得，4a＋2b＝(－8，6)．
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8，6)＋(3，4)＝(－5，10)．即
5a＝(－5，10)，∴a＝(－1，2)
从而b＝(2a＋b)－2a＝(－4，3)－(－2，4)＝(－2，－1)．
∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
答案　0
11．已知a＝(4，－3)，b＝(2，1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
解：由已知a＋tb＝(4，－3)＋t(2，1)＝ (2t＋4，t－3)．
∴(a＋tb)·b＝2(2t＋4)＋(t－3)＝5t＋5.
|a＋tb|＝＝，
又|b|＝＝.
∵(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos 45°，
∴5t＋5＝××.
即(t＋1)＝.
两边平方整理，得t2＋2t－3＝0.解得t＝1或t＝－3.
经检验t＝－3是增根，舍去，故t＝1.
12．(创新拓展)已知△ABC中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cos θ；(4)求证：AD2＝BD·CD.
(1)证明　＝(－1，－2)－(2，4)＝(－3，－6)，
＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.
(2)解　设D点的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，
＝(5，5)，∵AD⊥BC，
∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0，①
又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②
联立①②，解得x＝，y＝，故D点坐标为，
∴＝＝.
(3)解　cos θ＝＝＝.
(4)证明　∵＝，＝，＝，∴||2＝，||＝，||＝，∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.