有理数的概念.doc

2015年毕业会考总复习——有理数的概念
知识清单
知识点1：正数、负数
（1）为了用数表示具有相反意义的量，把某种的量的一种意义规定为正，而把与它相反意义的量规定为负，负数是根据实际需要尴产生的。
正数：像+1、12、1.3、等大于0的数叫正数；
负数：像-5、、-0.1等在正数前面加“－”的数，负数小于0.
（2）0既不是正数也不是负数，它是一个非正、非负的数，正数、负数以0为界，规定：0是最小的自然数.
知识点2：有理数及其分类

知识点3：数轴及其三要素
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
（2）数轴三要素：原点，单位长度，正方向
（3）数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。
知识点4：相反数
（1） 概念：像2和-2，0.2和-0.2，-5和5等这样只有符号不同的两个数称互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数。0的相反数是0。
（2） 相反的表示：数的相反数是。（在一个数前面加一个“-”表示它的相反数）
（3） 相反数的特性：
①若、互为相反数，则；反之，若，则、互为相反数。
②互为相反的两个数分处原点的两侧，且与原点距离相同。
知识点5：倒数
（1） 概念：乘积为1 的两个数互为倒数。
（2） 倒数的意义：一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数。
（3） 倒数的特性：若、互为倒数（，），则；反之，若，则、互为倒数。
知识点6：绝对值
（1）概念：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。数的绝对值记。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即：或
（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。
知识点7：有理数的大小比较
（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小；
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
典例精析
【例1】在，，，，，，（是任意有理数）中，负数的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【例2】将下列各数分别填在相应的集合内.
，，，，，，，，，，，，.
正数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　　　　…｝；
负数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　　　　…｝；
负分数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　　　　…｝；
正整数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　　　　　…｝．
温馨提示：（1）对于正数与负数，不能简单地理解为带＂+＂的数是正数，带＂－＂的数是负数，要看其本身是正或负．如①时，表示正数，表示负数；②时，表示负数，表示正数；③时，表示非负数.
　　（2）理解有理数概念要注意：①一个有理数不是整数就是分数；②如果一个数不是整数也不分数，那么它一定不是有理数学；既不是正数也不是负数，它是整数．
【例3】如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点是（ ）
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
A
B
C
D
Ａ、D点 Ｂ、A点
Ｃ、A点和D点 Ｄ、B点和C点

【例4】的相反数是（ ）
A、 B、 C、 D、

【例5】化简下列各数：
（1） （2） （2）
（4） （5）
【例6】(1)已知，则= ．
（2）已知，在数轴上给出、的四种位置关系如图所示，那么可能成立的有（ ）
b
a
0
a
b
0
b
0
a
a
0
b
A
B
C
D

【例7】（1）若，则= ．
（2）当= 时，有最大值，这个最大值是 ．
【例8】（1）数在数轴上的位置如图所示，则、、的大小关系是（ ）
0
a
-1
A、 B、
C、 D、
（2）比较和的大小．

例9】阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示数与数0在数轴上的对应点之间的距离。这个结论可以推广为表示在数轴上数、的对应点之间的距离．
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
①解方程．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即方程的解为．
②解不等式．如图，在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为、3，则的解为或．
③解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的的值，在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的的对应点在1的右边或-2的左边．若的对应点在1的右边，由图可以看出；
同理，若的对应点-2的左边，可得．故原方程的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为　　　　　　　　　　　；
（2）解不等式；
（3）若对任意实数都成立，求的取值范围．

过关练习：
1.下列说法正确的是 （ ）
A.数轴上右边的点表示正数,右边的点表示负数 B.距离原点越远的点,表示的数越大
C.表示－2的点离原点2个单位长度 D.数轴上表示－3和1的点相距2
2下列叙述正确的是 （ ）
A.若=，则a=b B.若＞，则a＞b C.若a＜b，则＜ D.若=，则a=±b
3.互为相反数，互为倒数，=4，=___
4.如果x，y表示有理数，且x，y满足条件，那么= __________。
5..已知，且，求的值.

6.若，求的值.

7.若，为有理数，则求的值。

8.有理数a、b、c在数轴上 的位置如图所示，试化简 +－

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a b 0 c