基本求导积分公式.doc

1．基本求导公式
⑴ （C为常数）⑵ ；一般地，。
特别地：，，，。
⑶ ；一般地，。
⑷ ；一般地，。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则
设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）；
（Ⅱ），特别（C为常数）；
（Ⅲ），特别。
3．微分 函数在点x处的微分：
4、 常用的不定积分公式
（1） ；
（2） ； ； ；
（3）（k为常数）
5、定积分

⑴
⑵ 分部积分法
设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数，则

6、线性代数
特殊矩阵的概念
（1）、零矩阵 （2）、单位矩阵二阶
(3)、对角矩阵(4)、对称矩阵
(5)、上三角形矩阵下三角形矩阵
(6)、矩阵转置转置后
6、矩阵运算

7、MATLAB软件计算题
例6 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
例：试写出用MATLAB软件求函数的一阶导数的命令语句。
>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x)+exp(x));
>>dy=diff(y)
例11 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y,1,2)
例 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y)
MATLAB软件的函数命令
表1 MATLAB软件中的函数命令
函数

MATLAB

运算符号
运算符
+
-
*
/
^
功能
加
减
乘
除
乘方

典型例题
例1 设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1

7
3
11
3
11
A2

4
1
9
2
8
A3

9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20

（1）用最小元素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。
解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1

4
3
7
3
11
3
11
A2
3

1

4
1
9
2
8
A3

6

3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20

找空格对应的闭回路，计算检验数：l＝1，l＝1，l＝0，l＝－2
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为 1
调整后的第二个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1

5
2
7
3
11
3
11
A2
3

1
4
1
9
2
8
A3

6

3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20

求第二个调运方案的检验数：l＝－1
已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为 2
调整后的第三个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
销地
产地
B1
B2
B3
B4
供应量
B1
B2
B3
B4
A1
2

5

7
3
11
3
11
A2
1

3
4
1
9
2
8
A3

6

3
9
7
4
10
5
需求量
3
6
5
6
20

求第三个调运方案的检验数：
l＝2，l＝1，l＝2，l＝1，l＝9，l＝12
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）
例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。
1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。
2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0
线性规划模型为

2．解上述线性规划问题的语句为：
>>clear;

>>C=-[400 250 300];
>>A=[4 4 5;6 3 6];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
例3已知矩阵，求：
解：
例4 设y＝(1＋x2)ln x，求：
解：
例5 设，求：
解：
例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q百台的收入为R (q)＝4q－0.5q2（万元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？
解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)＝q＋2

利润函数L (q)＝R (q)－C(q)＝－0.5q2＋3q－2
令ML(q)＝－q＋3＝0 得唯一驻点 q＝3（百台）
故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为
L (3)＝－0.5×32＋3×3－2＝2.5（万元）
例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
解：库存总成本函数
令得定义域内的唯一驻点q＝200000件。
即经济批量为200000件。
例9 计算定积分：
解：
例10 计算定积分：
解：
教学补充说明
1. 对编程问题，要记住函数ex，ln x，在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；
2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
（a≠－1）

7. 记住两个函数值：e0＝1，ln 1＝0。
模拟试题
一、单项选择题：（每小题4分，共20分）
1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。
(A) 等于

(B) 小于

(C) 大于

(D) 不超过

2．某物流公司有三种化学原料A1，A2，A3。每公斤原料A1含B1，B2，B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤原料A2含B1，B2，B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公斤；每公斤原料A3含B1，B2，B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。每公斤原料A1，A2，A3的成本分别为500元、300元和400元。今需要B1成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A1，A2，A3的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（ D ）。
(A) max S＝500x1＋300x2＋400x3
(B) min S＝100x1＋50x2＋80x3
(C) max S＝100x1＋50x2＋80x3
(D) min S＝500x1＋300x2＋400x3
3. 设，并且A＝B，则x＝（ C ）。
(A) 4

(B) 3

(C) 2

(D) 1

4．设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数为C(q)＝q2＋50q＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。
(A) 170

(B) 250

(C) 1700

(D) 17000

5. 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR (q)，则运输该物品从100吨到300吨时的收入增加量为 D ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
二、计算题：（每小题7分，共21分）
6．已知矩阵，求：AB＋C
解：
7. 设，求：
解：
8. 计算定积分：
解：
三、编程题：（每小题6分，共12分）
9. 试写出用MATLAB软件求函数的二阶导数的命令语句。解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
10. 试写出用MATLAB软件计算定积分的命令语句。
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=x*exp(sqrt(x));
>>int(y,0,1)
四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。
解： 库存总成本函数
令得定义域内的惟一驻点q＝200000件。
即经济批量为200000件。
12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0
线性规划模型为

解上述线性规划问题的语句为：
>>clear;
>>C=-[400 250 300];
>>A=[4 4 5;6 3 6];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
线性规划习题
1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。试写出能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行）。
解：设生产甲产品吨，乙产品吨。
线性规划模型为：

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[3 4];
>> A=[1 1;1 2;0 1];
>> B=[6;8;3];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
2. 某物流公司有三种化学产品A1，A2，A3都含有三种化学成分B1，B2，B3，每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B1成分至少100斤，B2成分至少50斤，B3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。
相关情况表
产品含量
成 分
每斤产品的成分含量
A1
A2
A3
B1
B2
B2
0.7
0.2
0.1
0.1
0.3
0.6
0.3
0.4
0.3
产品价格(元/斤)
500
300
400
解：设生产产品公斤, 生产产品公斤, 生产产品公斤,

3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写出使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写出命令语句，并用MATLAB软件运行出结果）
解：设生产桌子张，生产椅子张

MATLAB软件的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[12 10];
>> A=[10 14; 20 12];
>> B=[1000；880];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：设生产甲产品件，乙产品件。
线性规划模型为：

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[6 8];
>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];
>> B=[1500；1200；1800；1400];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原料30吨，乙原料50吨。每吨A产品需要甲原料2吨；每吨B产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C产品需要乙原料4吨。又知每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：设生产A产品吨，B产品吨，C产品吨。
线性规划模型为：

用MATLAB软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[3 2 0.5];
>> A=[2 1;2 4];
>> B=[30；50];
>> LB=[0;0；0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

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