第九章 数项级数.doc

30
P
湖南工学院教案用纸
第九章 数项级数
§ 1 数项级数的收敛性
一、本次课主要内容
级数的收敛与发散概念；收敛性必要条件；收敛级数的性质
二、教学目的与要求
明确认识级数是研究函数的一个重要工具；无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；理解解数项级数，级数的基本性质。
三、教学重点难点
1. 数项级数的概念与收敛的转化；
2. 数项级数的性质的理解与运用。
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P8 1（7），（8） P8 2（1），（3）
一．概念 ：
1．级数 ：级数 ，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第 项 ), 前 项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 .
2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .
例1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）
解 时, . 级数收敛 ;
时, 级数发散 ;
时, , , 级数发散 ;
时, , , 级数发散 .
综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意 从0开始 ).
例2 讨论级数 的敛散性.
解（利用拆项求和的方法）
例3  讨论级数 的敛散性.
解 设 ,
,
=
, .
, .
因此, 该级数收敛.
例4 讨论级数 的敛散性.
解 , . 级数发散.
3. 级数与数列的关系 :
对应部分和数列{ }, 收敛 { }收敛;
对每个数列{ }, 对应级数 , 对该级数, 有 = . 于是,数列{ }收敛 级数 收敛.
可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 
4. 级数与无穷积分的关系 :
, 其中 . 无穷积分可化为级数 ;
对每个级数, 定义函数 , 易见有
= . 即级数可化为无穷积分.
综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .
二.            级数收敛的充要条件 —— Cauchy准则 ：把部分和数列{ }收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言 ， 就得到级数收敛的Cauchy准则 .
Th ( Cauchy准则 ) 收敛 和 N, .
由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前 项的级数表为 或.
( 级数收敛的必要条件 ) 收敛 .
例5 证明 级数 收敛 .
证 显然满足收敛的必要条件 . 令 , 则当 时有

应用Cauchy准则时，应设法把式 | |不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于 ，确定 .
例6 判断级数 的敛散性.
( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )
例7  ( 但级数发散的例 ) 证明调和级数 发散 .
证法一 ( 用Cauchy准则的否定进行验证 )  
证法二 证明{ }发散. 利用已证明的不等式
. 即得 ， .
三． 收敛级数的基本性质：（ 均给出证明 ）
性质1 收敛， — Const 收敛且有 =
( 收敛级数满足分配律 )
性质2 和 收敛 ， 收敛, 且有
= .
问题 : 、 、 三者之间敛散性的关系.
性质3 若级数 收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律 )
例8 考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题 ?

教学后记：
第九章 数项级数
§ 2 上极限与下极限
一、本次课主要内容
数列上极限与下极限概念以及相应运算
二、教学目的与要求
使学生理解上下极限概念。了解上极限和下极限的运算。
三、教学重点难点
1.上下极限的概念。
2.上下极限的运算。
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P16 2（2），3（2），4
一上、下极限的定义:
下面用两种方法定义上极限与下极限。
1. 用极限点定义上、下极限:
定义9.2.1 称数列的收敛子列的极限为数列的极限点，即设是数列, 是一个实数. 若对中的无穷多个项属于邻域, 则称实数是数列的一个极限点。
定义1分别称数列的极限点集的最大值H和最小值h为数列的上极限和下极限,记为有。
2 用所谓“半边极限”观念定义上、下极限:
定义2 称实数H (或h) 为数列的上(或下)极限是指: 在邻域内有数列的无穷多项, 且在该邻域的右侧(或左侧)仅有数列的有限项
二：上下极限的运算性质（见书本）

教学后记：第九章 数项级数
§ 3 正项级数（1）
一、本次课主要内容
正项级数的比较判别方法，Cauchy判别法。
二、教学目的与要求
掌握正项级数的比较与柯西判别法。
三、教学重点难点
1. 比较判别法。
2. 柯西判别法。
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P27 1（4）（6）
一. 正项级数判敛的一般原则 :
1.正项级数 : ↗; 任意加括号不影响敛散性.
2.基本定理 :
Th 1 设 . 则级数 收敛 . 且当 发散时有, . ( 证 )
3.正项级数判敛的比较原则 :
Th 2 设 和 是两个正项级数 , 且 时有 , 则
ⅰ> < , < ;
ⅱ> = , = .( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )
例1  考查级数 的敛散性 .
解 有
例2 设 . 判断级数 的敛散性 .
推论1 ( 比较原则的极限形式 ) 设 和 是两个正项级数且 ,则
ⅰ> 时 , 和 共敛散 ;
ⅱ> 时 , < , < ;
ⅲ> 时 , = , = . ( 证 )
推论2 设 和 是两个正项级数 , 若 = ， 特别地 ，若 ～ , ， 则< = .
例3 判断下列级数的敛散性:
⑴ ; ( ～ ) ; ⑵ ;⑶ . 
二.            正项级数判敛法:
1． 检比法： 亦称为 D’alembert判别法 .
Th 3 设 为正项级数 , 且 及 时
ⅰ> 若 , < ;
ⅱ> 若 , = .
证 ⅰ> 不妨设 时就有 成立 , 有
依次相乘 , , 即
. 由 , 得 , < .
ⅱ> 可见 往后递增 , .
推论 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 ⅰ> < , < ; ⅱ> > 或 = , = . ( 证 )
註 倘用检比法判得 = , 则有 .
检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是 中含有因子 者.
例4 判断级数 
的敛散性.
解 , .
例5 讨论级数 的敛散性.
解 .
因此, 当 时, ; 时, ; 时, 级数成为 , 发散.
例6 判断级数 的敛散性 .
注意 对正项级数 ，若仅有 ，其敛散性不能确定 . 例如对级数 和 , 均有 ，但前者发散, 后者收敛 .
2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.
Th 4 设 为正项级数 , 且 及 , 当 时 ,
ⅰ> 若 , < ;
ⅱ> 若 , = . ( 此时有 .) ( 证 )
推论 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 , 且 . 则 , < ; , = . ( 证 )
检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 . 检根法优于检比法. 
例7 研究级数 的敛散性 .
解 , .
例8 判断级数 和 的敛散性 .
解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 .  

教学反思：
第九章 数项级数
§ 3 正项级数（2）
一、本次课主要内容
正项级数的达朗贝尔判别方法，积分判别法。
二、教学目的与要求
掌握正项级数的达朗贝尔与积分判别法。
三、教学重点难点
1. 达朗贝尔判别法。
2. 积分判别法
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P27 1（8）（10）
一： 积分判别法 ：
Th 5 设在区间 上函数 且↘ . 则正项级数 与积分共敛散.
证 对 且

. 
例1 讨论 级数 的敛散性.
解 考虑函数 0时 在区间 上非负递减 . 积分当 时收敛 , 时发散. 级数 当 时收敛 ,时发散. 时, , 级数发散.
综上 , 级数 当且仅当 时收敛 . 
例2 讨论下列级数的敛散性:
（1） ; （2） .
二：直接比较判敛：  
对正项级数，用直接比较法判敛时 , 常用下列不等式:
⑴ .
⑵ 对 , 有 .
⑶ ; 特别地 , 有
, .
⑷ 时 , 有 .
⑸ .
⑹ 充分大时 , 有 .
例1 判断级数 的敛散性.
解 时, , ( 或 ). ……
例2 判断级数 的敛散性 , 其中 .
解 时 , 有 ;
时 , .
例3 设数列 有界 . 证明 .
证 设 .
例4 设 且数列 有正下界 . 证明级数 .
证 设 .
例5 . 若 , 则 .
证 ; 又
.
例6 设 . 若级数和 收敛 ,则级数 收敛.
例7 设 . 证明
⑴ , , ;
⑵ 和 之一或两者均发散时, 仍可能收敛 ;
⑶ , , .
证 ⑴ 充分大时 , .
⑵ 取 .
⑶ .  
三. 利用同阶或等价无穷小判敛 :  
例8 判断下列级数的敛散性:
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ;
⑷ ; ⑸ .
例9 判断下列级数的敛散性:
⑴ ; ⑵ .
註 设正项级数 的通项 为 的有理分式 . 当 为 的假分式时, 由于 , ; 若 为 的真分式 , 倘用检比法, 必有 .
有效的方法是利用等价无穷小判别法.
例10 设函数 在点 有连续的二阶导数, 且 . 试证明:
⑴ 若 , 则级数 发散.
⑵ 若 , 则级数 收敛.
解 把函数 在点 展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有, 介于 与 之间.
⑴ 若 ,则当 充分大时 不变号, 可认为 是同号级数. 有
∽ , 发散.
⑵ 若 注意到 在点 连续, 在点 的某邻域内有界, 设
, 有 | |= .
, 收敛.
如例10所示 ，当 时 ，常用Maclaurin公式确定 的等价无穷小.
例11 判断级数 的敛散性 , 其中 且 .
解  
四． 利用级数判敛求极限 ：  
原理 : 常用判定级数 收敛的方法证明 或 .
例12 证明 .
例13 证明 .
例14 设 ↘ . 若 , .
证 对 , 由 , 有
, 即 ;
,
即 .
于是 , 时总有 . 此即 .
教学反思：
第九章 数项级数
§ 4 任意项级数
一、本次课主要内容
级数的柯西收敛准则以及Leibniz，Abel，Dirichlet判别法；级数的绝对收敛以及条件收敛；加法结合律以及柯西乘法
二、教学目的与要求
掌握任意项级数的A-D判别法，其他方法了解。
三、教学重点难点
1. Leibniz，Abel，Dirichlet判别法。
2. 条件收敛；加法结合律以及柯西乘法。
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置

P44 1（8）（10）
一. 交错级数 : 交错级数 , Leibniz型级数 . 
Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型级数必收敛 , 且余和的符号与余和首项相同 , 并有.
证 ( 证明部分和序列 的两个子列 和 收敛于同一极限 . 为此先证明 递增有界. )

, ↗;
又 , 即数列 有界.
由单调有界原理, 数列 收敛 . 设 .
. .
由证明数列 有界性可见 , . 余和 亦为型级数, 余和 与 同号, 且 .
例1 判别级数 的敛散性.
解 时 , 由Leibniz判别法, 收敛; 时, 通项 , 发散.
二. 绝对收敛级数及其性质 :  
1.   绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明 收敛 绝对收敛.
Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) , 收敛.
证 ( 用Cauchy 准则 ). 
一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.  
2. 绝对收敛级数可重排性 :
⑴ 同号项级数 ： 对级数 ，令

则有 ⅰ> 和 均为正项级数 , 且有 和;
ⅱ> , .
⑵ 同号项级数的性质:
Th 3 ⅰ> 若 ， 则 ， .
ⅱ> 若 条件收敛 , 则 , .
证 ⅰ> 由 和 , ⅰ> 成立 .
ⅱ> 反设不真 , 即 和 中至少有一个收敛 , 不妨设 .由 = , = 以及 和 收敛 , .而 , ,与条件收敛矛盾 .
⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念.  
Th 4 设 是 的一个更序 . 若 , 则 , 且= .
证 ⅰ> 若 ，则 和 是正项级数 , 且它们的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 .
ⅱ> 对于一般的 , = , = .正项级数 和 分别是正项级数 和 的更序 . 由 , 据Th 1 , 和 收敛 . 由上述ⅰ>所证 , 有 , , 且有= , = , = .
由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 .
Th 5 ( Riemann ) 若级数 条件收敛 , 则对任意实数 ( 甚至是 ) , 存在级数 的更序 , 使得 = .
证 以Leibniz级数 为样本 , 对照给出该定理的证明 .
关于无穷和的交换律 , 有如下结果:
ⅰ> 若仅交换了级数 的有限项 , 的敛散性及和都不变 .
ⅱ> 设 是的一个更序 . 若 , 使 在 中的项数不超过 ,则 和 共敛散 , 且收敛时和相等 .
三. 型如 的级数判敛法：
1．Abel判别法：
引理1 （分部求和公式，或称Abel变换）设 和 （ ）为两组实数.记 . 则
.
证 注意到 , 有

. 
分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上 ,
.
可见Abel变换式中的 相当于上式中的 , 而差 相当于 , 和式相当于积分.
引理2 ( Abel ) 设 、 和 如引理1 .若 单调 , 又对 ,有 ，则 .
证 不妨设 ↘.

.
系 设 ↘, ( ). 和 如. 有 .
( 参引理2证明 )
Th 7 (Abel判别法 ) 设 ⅰ> 级数 收敛，ⅱ> 数列 单调有界 . 则 级数 收敛 .
证 ( 用Cauchy收敛准则 , 利用Abel引理估计尾项 )
设 , 由 收敛 , 对 时 , 对 , 有 . 于是当 时对 有
.
由Cauchy收敛准则 , 收敛.
2. Dirichlet判别法:
Th 8 ( Dirichlet) 设 ⅰ> 级数 的部分和有界, ⅱ> 数列 单调趋于零 . 则级数 收敛 .
证 设 , 则 , 对 , 有
.
不妨设 ↘0 , 对 . 此时就有
.
由Cauchy收敛准则 , 收敛.
取 ↘0 , , 由Dirichlet判别法 , 得交错级数 收敛 . 可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.
由Dirichlet判别法可导出 Abel判别法 . 事实上 , 由数列 单调有界 , 收敛 , 设 . 考虑级数 , 单调趋于零 , 有界, 级数 收敛 , 又级数 收敛, 级数 收敛.
例4 设 ↘0. 证明级数 和 对 收敛.
证
，
时 ， ， .
可见 时, 级数 的部分和有界 . 由Dirichlet判别法推得级数收敛 . 同理可得级数数 收敛 .

教学后记：
第九章 数项级数
§ 5 无穷乘积
一、本次课主要内容
无穷乘积的概念以及收敛准则
二、教学目的与要求
了解无穷乘积概念。
三、教学重点难点
柯西乘积
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P53 1（1）（3）

1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积. [1] P20—21.
2．级数乘积的Cauchy定理:
Th 6 ( Cauchy ) 设 , , 并设 = , = . 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛 , 且乘积级数的和为 . ( 证略 )
例3 几何级数

是绝对收敛的. 将 按Cauchy乘积排列, 得到

.
教学反思：