反常积分与无穷级数收敛关系的讨论.doc

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本 科 生 毕 业 论 文

论 文 题 目： 反常积分与无穷级数收敛关系的讨论
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2015 年 5 月 17 日

I

NO.：
200X2XX40XXX

Huanggang Normal University

Thesis Graduates

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May 17th, 2015

郑重声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.
特此郑重声明！

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年 月 日

摘 要

本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法.此外本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行了讨论.最后，本文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别.
关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数

Abstract
From the background of the improper integral, this paper introduces the definition, properties and convergence criterion. In addition ,it discusses some simply questions of improper double integral, as well as a simple application in the real of improper integral. Finally, the paper also describes the ties and differences between infinite integral and infinite series.
Key words：improper integral, mathematical analysis, method of substitution,
improper double integral, infinite series

目 录
第1章 绪论 1
1.1反常积分的背景 1
1.2反常积分的定义 1
第2章 反常积分的性质和其收敛判别法 3
2.1反常积分的性质 3
2.2反常积分的收敛判别方法 4
第3章 反常二重积分的简单讨论 6
3.1反常二重积分的定义 6
3.2反常二重积分的性质 7
第4章 反常积分的计算和收敛性判别的举例 9
4.1反常积分的计算和收敛性判别的举例 9
4.1.1反常积分的计算举例 9
4.1.2反常积分的收敛性判别举例 11
4.2反常积分在现实中的简单应用 13
第5章 无穷积分与无穷级数的联系与区别 15
5.1 无穷级数的简单介绍 15
5.2 无穷积分与无穷级数的联系 17
5.3 无穷积分和无穷级数之间的区别 20
第6章 结束语 21
第7章 致谢 22
参考文献 23

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

第1章 绪论
1.1反常积分的背景
Riemann积分要求积分区间有限且被积函数在该区间上有界.但在实际的应用（特别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.
首先由一个例子引入：
设地球的半径为R,质量为M．根据万有引力定律知,地球对距球心人处质量为物体的引力为：
.
特别,当, ,因而.
考虑将质量为的火箭从地面发射到引力所作的功.
利用微元法,并且由W与F(r)之间有关可得
dW=F(r)dr.
因此,
．
则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为
．
假设以速度发射,它得到的动能为．要使它飞出地球引力范围,则必须
．

1.2反常积分的定义
定义1[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
：设函数 定义在无穷区间 上,且在任何有限区间   上可积,如果存在
极限

则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作 ,并称 收敛.
如果极限 不存在,为方便起见,亦称   发散.
定义2： 设函数定义在 上,在点的任一右邻域内无界,但在任何内闭区间  上有界且可积,如果存在极限,则称此极限为无界函数在 上的反常积分,记作 ,并称反常积分 收敛,如果极限不存在,这时也说反常积分  发散.

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第2章 反常积分的收敛判别法
2.1反常积分的性质
（一）无穷反常积分的性质
(1)在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积, 且 .
(2) 和 在区间上可积 , 由此在区间上可积,且 .
(3) 无穷积分收敛的Cauchy准则:
若积分 收敛，则.
（二）瑕积分的性质
(1)在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积, 且.
(2) 和 在区间上可积，由此在区间上可积,且.

2.2反常积分的收敛判别方法
(一) 比较判别法: 设在区间 上函数 和 非负且,又对任何， 和在区间 上可 积 ， 若，则 ；若 ，则.
推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数. 则
i> ;
ii> ;
iii>
推论2 （Cauchy判敛法）: 以 为比较对象, 即取.
以下假设，若对任何, ,；若 .
Cauchy判敛法的极限形式 : 设 是在任何有限区间  可积的正值函数. 且 . 则
1)
2) .
(二) 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法:
1) 阿贝尔判别法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛.
2) 狄利克雷判别法: 设 在区间上有界 , 在上单调,且当 时,.则积分 收敛.

第3章 反常二重积分的简单讨论
3.1反常二重积分的定义
定义2[[2] 邝荣雨等. 微积分学讲义(第二版)第三册[M]. 北京:北京师范大学出版社,2006.
] ： 设D为 中的一无界区域（例如,全平面、半平面、角域、带形区域、任一有界区域的外部等等）,函数 在D中有定义且有界.用任意一条光滑曲线L在D中画出（可求面积）有界区域都D..设的二重积分 存在,当曲线L连续变动,使自坐标原点到L上的点的最小距离 时,所划出的区域D..无限扩展而趋于（或笼罩）区域,记为 ,此时称

为函数 在无界区域上的广义积分,记为
=
如果不论曲线的形状如何,也不论 的扩展过程如何,
=
式右端有惟一的有限极限值存在,则称广义二重积分收敛,极限值称为广义二重积分值.此时也称在上广义可积,简称可积.若(1)式右端的极限不存在,或者极限值依赖于曲线的形状及区域 的扩展过程,则称广义二重积分发散,也称在上不可积.
定义3： 设 为有界区域,点 ,函数 在 上（可除去点 ）有定义. ,且 .若 ,则称点 为函数在区域上的一个瑕点.
以点为中心,以 为半径作一小圆 ,设在 区域内可积,此时称

为 在D中的含瑕点的广义二重积分.若3-2式右端有惟一的有限极限存在,则称含瑕点的广义二重积分收敛,极限值称为函数的含瑕点的广义二重积分值.若式右端的极限不存在,则称函数的含瑕点的广义二重积分发散.
3.2反常二重积分的性质
(1)  无界区域上广义二重积分的柯西判别法.
设为无界区域,如果 ,当 时,有
.
其中 为常数,则广义二重积分 收敛；
  (2) 含瑕点的广义二重积分的柯西判别法
设在内 有瑕点 ,若对于 充分接近的点 ,有
.
其中   则

收敛.
那么对于广义二重积分而言, 收敛与绝对收敛（即收敛）之间有何关系？
对于无穷区域上的广义二重积分和含瑕点的广义二重积分而言,收敛和绝对收敛之间的关系[[3] 施明存,武海燕.微积分同步辅导[M]北京:高等教育出版社,2008
]如下：
（i）若绝对收敛,则收敛.这和一元函数的广义积分的结论一样.
（ii）若收敛,则绝对收敛.这是二重广义积分与一元函数的广义积分的主要区别.

第4章 反常积分的计算和收敛性判别的举例
4.1反常积分的计算和收敛性判别的举例
介绍了前面的相关概念之后,我们首先来看几个反常积分的计算和判断其是否收敛的例子.
4.1.1反常积分的计算举例
（1） 先来看几个一重反常积分的例子
例1[3] 求积分
解:
=
=
=
例2[[4] 莫国良,唐志丰. 微积分学教程(上册)[M]. 浙江:浙江大学出版社,2005.
]
解：原式=
=
=
==

例3[5] I.Anshel , D.Goldfeld . Calculus: A Computer Algebra(Second edition)[M]. Higher Education Press,2005.
．
解：原式=（令1－x=t）
=
=2arctan
例4[6] 李勇.微积分习题课教程(上册)[M].北京:清华大学出版社,2006.

].
解：此题用换元法解. 均为被积函数的瑕点,设,则
原式＝=
例5[[7] 安幼山.微积分及其应用[M].北京:高等教育出版社,2006.
] 积分
===0
但 = [－cosb+1] 不存在
所以发散.

再来看两个二重反常积分的例子
例6[[8] 施明存,武海燕.微积分同步辅导[M].北京:高等教育出版社,2008.
]. 求的值.
解 设自然数n , 取Γn : .

所以,
进一步来说，对于原积分，我们知道
有
从而我们可得如下的概率积分: .

例7[[9] 钟友明,王平平.柳键.微积分[M].北京:科学出版社,2008.
]. 求.
解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点,
取Δ: , 那么

当,,
当, 发散.

4.1.2反常积分的收敛性判别举例
例1[10] 宋明娟,王春.微积分(上册)[M].北京:科学出版社,2008.
]. 讨论积分 (a>0) 的收敛性（p为实数）
解：当时,因
=（）
所以发散．
当1时
===Ip(b)
因为Ip(b)=
所以积分 当p>1时收敛,值为；当p<1时发散

例2[11] 张润琦,陈一宏. 微积分(上册)[M]..北京: 机械工业出版社, 2005.
] 讨论积分 (a>0)的收敛性．
解：因(
同理
所以收敛,
且

例3 设对任意正数a,积分收敛,其中为连续函数, , 求证
=ln , ()
证明：
=－（分别令）
=－
=
= （在与之间）
=
令 , 则
∴

4.2反常积分在现实中的简单应用
首先,让我们重新看一看开头提出的问题.
例1[[12] 赵军. 微积分[M].北京:清华大学出版社,2006.
]. 在地球表面初值发射火箭,要是 火箭克服地球引力,无限远离地球,问初速度至少多大？ 
解：  设地球半径为R,火箭质量为m,地面重力加速度为g,有万有引力定理,在距地心x处火箭受到的引理为

于是火箭上升到距地心处需要做到功为

当时,其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
==
在由能量守恒定律,可求得处速度至少应使
,所以=11.2km/s
例2[[13] 施明存,武海燕.微积分同步辅导[M].北京:高等教育出版社,2005
] 从盛满水开始打开小孔,问需多长时间才能把桶里水全部放完？
解： 如图表4-1知,由物理学知识知道,（在不计摩擦情况下）,桶里水位高度为 时,水从小孔里流出的速度为
图表 01

设在很短一段时间内,桶里水面降低的高度为,则有下面关系：

由此得   
所以流完一桶水所需的时间应为

但是,被积函数在上是无界函数,,所一我们取
=

例3[[14] 刘占国.利息理论[M]天津:南开大学出版社,2010
] [[15] Marvin L.Bittinger. Calculus and Its application(Eighth edition)[s].China Machine Press,2005.
[16] 刘宁. 谈无穷积分与广义积分的关系[J]. 重庆职业技术学院学报, 2004.,13(3): 01-03.
[17] 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

] 已知由现在到未来的某时刻T,每年P美元连续资金流量的累积现值为
,
其中是现行的利率.假设资金流量是连续不断的.在这个假设下,在无限时间周期上的累积现值是多少？
解：
.

第5章 无穷积分与无穷级数的联系与区别
反常积分中的无穷积分与级数中的无穷级数有着特别的联系与区别.下面就以无穷级数中的
常数项无穷级数为例，分析一下它与无穷积分之间的联系与区别.
5.1 无穷级数的简单介绍
（一）无穷级数的概念
给定数列，则形式和：称为常数项无穷级数，简记为：，
即，其中叫做无穷级数的通项。常数项无穷级数简称为级数。
（二）无穷级数敛散性的定义
设为级数的部分和数列，若，则称收敛，且称为的和，记
为.若不存在，则称发散，发散的级数没有和.
（三）无穷级数的性质

（1）设收敛，和为，则也收敛，且其和为。
即.
（2）设级数、都收敛，则也收敛，且
.
（3）在级数的前面部分去掉或加上，或改变有限项，不会改变级数的敛散性.
（4）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，但反之不一定成立.
（5）级数收敛的必要条件：设收敛，则。但若，不一定收敛。
（6）级数收敛的充要条件：对，总存在，当时及任意的自然数，有：.

（四）无穷级数的简单判别
（1）正向级数的单调有界判别
设级数满足，则称级数为正项级数.
若为正项级数，则其部分和数列是单调增数列，由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。若部分和数列有界，则存在，故收敛。反之，若收敛，则存在。由数列极限的性质知有界.
（2）正项级数的比较判别法
设级数、为正项级数.
若且收敛，则收敛.
若且发散，则发散.
（3）正项级数比较判别法的极限形式
设级数、都是正项级数.若，则与同时
收敛或同时发散.
当时，由收敛可得则收敛.
当时，由发散可得发散.
（4）达朗贝尔判别法
设级数满足，且，则
1.当时，级数收敛.
2.当时，级数发散.
3.当时，级数可能收敛也可能发散.
(5) 柯西判别法
设级数为正项级数且，则
1.当时，级数收敛.
2.当时，级数发散.
3.当时，级数可能收敛也可能发散.

5.2 无穷积分与无穷级数的联系

(一)概念类似

简单的说，无穷积分和无穷级数都是无限个数相加。所略有不同的是无穷积分是无限个不可列
个数相加，而无穷级数则是无限个可列个数相加.

（二）性质类似

无穷积分和无穷级数大多数的性质都类似。例如对于无穷积分来说有如下几个基本性质：
(1)在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积,
且 .
(2) 和 在区间上可积 , 由此在区间上可积
且 .
类似的，对于无穷级数来说也具有相似的性质：
（1）设收敛，和为，则也收敛，且其和为.
即.
（2） 设级数、都收敛，则也收敛，
且.

（三）收敛性判别法类似
如果无穷积分中的被积函数和无穷级数中的级数项都是正的话，那么无穷积分和无穷级数
都可通过比较判别法来判别各自的收敛性.
例如，对于无穷积分来说:
设在区间 上函数 和 非负且,
若收敛，则收敛。
若发散，则发散。
对于无穷级数来说: 设级数、为正项级数.
若且收敛，则收敛.
若且发散，则发散.
那么为什么无穷积分和无穷级数具这么多类似的方面呢？为此，我们可以先来看一个.
定理:无穷积分收敛的充分必要条件是，对于任意严格递增的数列，：，，级数收敛于同一数，且=.
证明：必要性 如果无穷积分收敛，则
===.
充分性 已知对任意严格递增的数列，当，时，
级数 收敛，即它的部分和数列或收敛，则由海涅定理得，无穷积分收敛，且==.
由此可见，无穷积分就相当于级数，定积分就相
当于此级数的部分和.这正是无穷积分和无穷级数在性质和判别法上极为相似的本质原因.

5.3 无穷积分和无穷级数之间的区别

虽然无穷积分和无穷级数之间存在着一定的联系，但是无穷积分之和无穷级数之间还是存在着不一样的地方.有关这一方面的差别就不多说了，这里简单的指出两：
第一，无穷积分中每相加的两个数之间又有无穷个数，而无穷级数则不同，每相加的两个数之间并没有无穷个数.
第二，我们知道，若收敛，则必有 ；但对于无穷积分来说，当收敛时，要推出，还必须有在上一致收敛这一条件.
总的来说，无穷积分和无穷级数在概念，性质，收敛性判别法等很多方面都是类似的，但在某些方面还是有所不同的.

第6章 结束语
本文从反常积分的背景出发,以此来说明为何要引入反常积分.接着,本文叙述了反常积分的定义和性质及其通常的一般判别方法.此外,本文还特地叙述了反常二重积分的定义和其性质,因为我们平常所遇到的反常积分通常是一重的,但其实生活中有不少地方需要用到二重甚至是多重反常积分,因而对这部分的阐述是很有必要的.最后,本文给出了一些反常积分的计算和其收敛性判别的例子,并举了两个生活中的运用反常积分的事例.此外,本文还对反常积分中的无穷积分和级数中的无穷级数之间的联系与区别进行了讨论.
反常积分似乎在大学数学中并不太惹人注意.但随着科技的发展,在现实生活中,越来越多的问题需要用到反常积分,相信在不久的将来,反常积分的应用将更加广泛.我们应该对它有更多的关注.

第7章 致谢

这篇论文之所以能够顺利地完成，除了自身的努力之外，还与他人的帮助是分不开的.因此在这里，我要对所有帮助过我的人表示感谢.
首先，我第一个要感谢的是我的指导教师——何春玲老师.正是在他的引导和鼓励下，我才能完成这篇毕业论文.记得刚开始写论文的时候，我除了大致有个写的方向外，并不知道具体该如何动手.正是舒老师的引导，才让我明白了自己具体应该写什么，在写的过程中应注意些什么，要侧重写什么等等的内容.当我在写论文的过程中碰到了问题时，又是舒老师耐心地引导着我去解决问题.应该说，舒老师对我的细心指导给予了我很大的帮助，使我能够更好地完成论文.
接着，我要感谢周围的一些同学.当我们平时在写论文中碰到困难时，大家通常会互相讨论，互相交换意见.这对提高我的论文水平是有一定帮助的.
最后，我还要感谢参考文献中的各位作者.虽然大家素未蒙面，但是我通过阅读他们的著作，拓宽了自己的写作思路.因而我也要表示感谢.

参考文献

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