1、正、余弦定理在实际生活中的应用
江苏 李洪洋
正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.
1.测量中正、余弦定理的应用
例1 某观测站在目标南偏西方向，从出发有
2、一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离为千米，求此人所在处距还有多少千米？
分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，从而求出（即为所求）.
东
北
解：由图知，.
， .
在中，.
由余弦定理，得.
即.
整理，得，解得或（舍）.
故（千米）.
答：此人所在处距还有15千米.
评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.
2.
3、航海中正、余弦定理的应用
例2 在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？
分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求的方位角及由到所需的航行时间.
解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有，.
在中，∵，，，
根据余弦定理可得.
根据正弦定理可得.
∴，易知方向与正北方向垂直，从而.
在中，根据正弦定理可得：，
∴，，∴，
则有，小
4、时分钟.
所以缉私船沿北偏东方向，需分钟才能追上走私船.
评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.
3.航测中正、余弦定理的应用
例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到m）.
分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在和中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.
解：设飞行员的两次观测点依次为和，山顶为，山顶到直线的距
5、离为.
如图，在中，由已知，得
，，.
又（km）,
根据正弦定理，可得，
进而求得，∴（m）,
可得山顶的海拔高度为（m）.
评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.
4.炮兵观测中正、余弦定理的应用
例4 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，，，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.
分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、、、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择在和中应用定理求解.
解：在中，，
6、
，，
根据正弦定理有，
同理，在中，，
，，
根据正弦定理有.
又在中，，
根据勾股定理有：.
所以炮兵阵地到目标的距离为米.
评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.
5.下料中正余弦定理的应用
例5 已知扇形铁板的半径为，圆心角为，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？
分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.
（1）
7、
（2）
解：在图（1）中,在上取一点，过作于，过作交于，再过作于.
设，.在中，由正弦定理，得.∴.
于是
.
当即时，取得最大值.
在图（2）中，取中点，连结，在上取一点，过作交于，过作交于，过作交于，连结得矩形，设，则.
在中，由正弦定理得：，
∴.
∴
（当时取“”）.
∴当时，取得最大值.
∵，
∴作，按图（1）划线所截得的矩形面积最大.
评注：此题属于探索性问题，需要我们自己寻求参数，建立目标函数，这需要有扎实的基本功，在平时学习中要有意识训练这方面的能力.
综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.
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