股指期货无套利区间模型及应用.doc

摘要
日前国务院、中国证券业协会原则上已经同意推出融资融券、股指期货，这将给中国期货业市场带来深远的影响。
本文从套利的基本原理出发，以套利实证分析为出发点，有意在期现套利方面做一些研究和探索，希望能给那些奋斗在金融市场的人们带来一些启发。

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股指期货无套利区间模型及应用
引言
套利对投资者而言，是一种充满魅力的交易策略。数以千计的个人投资者花费无数的心血和时间去找寻套利机会。如果某只股票在一家证券交易所以较低的价格水平买进，同时在交割的价格水平卖出。从而，价格将借此抬高，高价格也会相应被压低，该过程将持续到两种价格相等为止。
这是一个若干年前发生在一所大学校区里的套利情况的实例。在这所大学的社区内，有两家经营教科书的书店互相竞争。一家书店提供一种价格为10美元的特殊的平装书。在距此两栋楼远的另一家书店，该书的回购价格为10.50美元。套利不会持续很久，因为10美元的书很快就被卖空而被运到另一家书店。
上面就是一个典型的套利交易方式，每交易一本书净赚0.50美元。然而，现实生活中这样的机会少之又少，即使出现了也会很快消失。怎样才能抓住这稍纵即逝的机会是每位套利者非常关心的难题。恰逢值此融资融券、股指期货推出之际，本文从套利的基本原理出发，以套利实证分析为出发点，有意在这一方面做一些研究和探索，希望能给那些奋斗在金融市场的人们带来一些启发。
一、套利定义
套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。换句话说，套利是利用资产定价的错误、价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机制，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率提高。
二、基本的假设与基本符号
（一）基本假设
1．没有交易费用和税收。
2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。
3．远期合约没有违约风险。
4．允许现货卖空。
5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。
6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。
（二）基本符号
T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。
t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。
S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。
：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。
K：远期合约中的交割价格。
f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。
F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本文中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。
r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。
三、完美市场下股指期货远期定价模型
股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产，为了给支付已知收益率的远期定价，我们可以构建两个组合。
组合A：一份远期合约多头加上一比数额为的现金；
组合B：个证券并且所有收入都再投资于该证券，其中为该资产按连续复利计算的已知收益率。
在组合A中，的现金以无风险利率投资，投资期为。到时刻，其金额将达到K。这是因为： 。这样，远期合约到期时，这笔现金刚好等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻，正好拥有一单位标的证券。因此在时刻两者的价值也相等，即：
（1）
（2）
由于远期价格就是使合约价值为零的交割价格，即当时，。因此公式（2）表明，支付已知收益率资产的远期价格：

这就是完美市场下股指期货远期合约的定价公式。

因此股价指数期货价格与股价指数现货价格之间必须保持如下关系，否则就存在套利机会：

如果，投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票，同时卖出指数期货合约来获得无风险套利利润。相反，如果，投资者就可以通过卖空股价指数中的成份股票，同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润。

四、完美市场下股指期货套利实例
例：假设S&P500指数现在的点数为1000，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），3个月期S&P500指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，请问如何进行套利？
在本例中，，因此投资者可以通过卖空成分股买入指数期货来套利：
① 确定套利的金额（假定为1000万美元）；
② 按各成分股在指数中所占权重卖空成份股，总计金额为1000万美元；
③ 将卖空成分股所的款项1000万美元按无风险利率贷出3个月；
④ 买入20份3个月期S&P500指数期货；
⑤ 3个月后收回贷款本金，其利息收入为：
1000万（1）=25.32万美元
⑥ 3个月后按市价买回成份股，平掉股票的空仓，假设此时指数现货点数
则股票现货盈亏为：
1000万
⑦ 3个月后按指数现货点数（）对期货头寸进行结算，其盈亏为：
（-950）50020
⑧此次套利的总盈亏为：
25.32+10001+1950=75.32万美元。
五、正常市场下股指期货无套利区间模型
上述是在完美市场下股指期货的远期定价，但是在实际情况下不存在完美市场，任何套利都需要成本，因此在正常市场下就存在一个无风险套利区间，在这个区间内套利没有利润，一旦超出这个区间套利就存在利润。
首先我们列出进行一次期现套利所需的成本：
1、期货市场交易双边手续费
2、期货买卖冲击成本
3、买卖股票双边交易手续费
4、股票交易印花税
5、股票买卖的冲击成本
6、股票资产组合模拟指数跟踪误差
7、借贷利差成本
我们用来表示进行一次期现套利所需要的成本，这样在理论价格基础上就出现了一个无套利区间，只有当实际价格高于无套利区间上界或者低于无套利区间下界才会出现套利机会。
无套利区间的上界就等于股指期货理论价格加上套利成本，即

无套利区间的下界就等于股指期货理论价格减去套利成本，即

这样，无套利区间为：

六、实例分析
2010年1月12日沪深300指数的点位为3535.4点，3月合约收盘价4140点，假设年利率r=5%，年红利q=3%，那么套利区间是多少？是否存在套利机会？
首先我们计算1003合约的理论价格：
=3547.2
然后我们计算下套利成本：
1期货买卖的双边手续费0.2点
2、期货买入和卖出的冲击成本0.2个指数点
3、股票买卖双边手续费0.4%*3535.4=14.14
4、股票交易印花税0.01%*3535.4=0.35
5、股票买卖冲击成本0.5%*3535.4=17.68
6、股票资产组合模拟指数跟踪误差0.2%*3535.4=7.07
7、借贷利差成本0.3%*3535.4=10.6
这样套利总成本=50.2，无套利区间为：
1月12日3月份远期合约4140点完全大于无套利区间上界3597.4点，存在巨大的套利空间，操作上可以买入成分股同时卖出3月份远期合约实现套利。但目前沪深300指数处于模拟阶段，现实不能进行套利操作，所以会出现这么大的套利空间。笔者认为，待股指期货正式推出，如果遭受爆炒的话出现套利机会的概率很大，希望本文能给有意在这方面奋斗的人们带来一些帮助。

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