《一类恒成立、存在性函数问题的化归》教学设计.doc

一类恒成立、存在性函数问题的化归

[知识点的地位作用]：1、“恒成立”与“存在性”问题起源于全称量词与存在量词“任意”与“存在”，是函数、方程、数列与不等式的结合点之一，也是培养数学能力的良好素材，同时也是高考的重点与热点。
2、此节内容是在学生学习完高一函数这一章后的一个专题讲座，目的是通过本节的学习，进一步深化对函数的认识，领悟数形结合的魅力。培养学生各种数学语言的相互转化的能力。
3、此内容共两个课时，此为第一课时。
[教学目标]：1、知识目标：让学生初步能用最值及值域解决一类函数的恒成立、存在性问题。
　　　　　 　２、能力目标：培养学生的观察力，分析、解决问题的能力。归纳概括能力
3、情感目标：通过本节学习，让学生体会的转化、化归的数学思想，享受数学中的灵动与和谐之美。
[教学重点]：对不同题型，能熟练地转化为不同的最值与值域问题。
[教学难点]：用化归思想灵活转化问题。
[创新点]：通过生活语言与数学语言对比结合，深入浅出地处理好本节重难点。并通过多种数学语言巩固，促进学生理解，加深学生印象。
[活动设计]：１、活动形式：问答、讨论、思考、总结。
２、教具：投影仪，软件（几何画板，powerpoint），课件
[教学设计]： 第一课时
一、引入：

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例1：不等式|x-1|-|x+3|＞a对于x∈R恒成立,求a的取值范围 .
变式1：存在x∈R，使得不等式 |x-1|-|x+3|>a成立, 则a的取值范围是 .
变式2：方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是 .
（抛出问题）由学生近期的易错题及变式题引入，并让学生知道，这类问题是高考的热点和重点，但我们学习本节知识后，将会非常轻松地解决这几道题。激发学生的好胜心与求知欲.
二、新课：
1、现实生活中存在与恒成立问题：

1) 在某次考试中，我们班有同学数学分数大于１２０分最高分大于１２０分。
2) 在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于６０分最低分大于６０分。
3) 在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于130分的最高分小于等于130分。
（语言对比）由现实生活中的口语来分析和理解现实生活中的一些恒成立问题和有解问题。提高学生学习兴趣，加强学生学习好这节内容的信心，让学生理解数学来源于生活，又高于生活。

２、推理：对x∈D,f(x)∈[m,n]有:

1）、符号语言：不等式f(x)>a，x∈D恒成立f(x)min>a
图象语言：y=f(x),x∈D的图象在直线y=a的上方最低点都在直线y=a的上方f(x)min>a
日常用语:每一个f(x)值都大于af(x)min>a
2）、符号语言：存在 x∈D,使得不等式f(x)>a不等式f(x)>a，x∈D，有解不等式f(x)>a，x∈D，解集非空f(x)max>a
图象语言：y=f(x),x∈D的图象有点在直线y=a的上方最高点都在直线y=a的上方f(x)max>a
日常用语：有f(x)值比a大f(x)max>a
3）、方程f(x)=a, x∈D有解（解集非空） a∈{f(x)| x∈D}
图象语言：y=f(x),x∈D的图象与直线y=a有交点 a∈{f(x)| x∈D}
日常用语：求函数a=f(x)，x∈D 的值域a∈{f(x)| x∈D}
（推理目的）让学生体验从现实生活中的“都”和“有”与到数学语境中的“任意”和“存在”之间的联系，再向“恒成立”和“有解”的转化。深入浅出地处理了本节课的一个难点。
（推理意义）让学生理解生活中的“都”和“有”最终向取值的最高最大和最低最小的转化，把复杂的对所有元素或部分元素的研究，转化到了对最值的研究。体现了将复杂问题简单化，将未知问题已知化的化归思想
（推理思路）从符号语言、图形语言和生活的日常用语三种不同角度来分析和解决和理解问题。并让学生自己动手来分析和理解后两个问题，提高学生动手能力，加深学生对三种语言的理解和转化
（推理手段）老师口语表述，由学生转化为符号语言，利用几何画板，展示图象特点，构建问题，引导学生推导图象关系。

　３、结论：对x∈D,f(x)∈[m,n]有:
１、恒成立问题
符号语言：函数f(x)>a，x∈D恒成立f(x)min>a
函数f(x)≤a，x∈D恒成立f(x)max≤a
2、存在性问题

符号语言：存在 x∈D,使得函数f(x)>af(x)max>a
存在 x∈D,使得函数f(x)≤af(x)min≤a
３、 有解问题
符号语言：不等式f(x)>a, x∈D有解（解集非空） f(x)max>a
　　　　　　不等式f(x)a成立, 则a的取值范围是 .
变式2：方程|x-1|-|x+3|=a有解，则a 的取值范围是 . 变式3：|x-1|-|x+3|≤ a解集不空, 则a的取值范围是 .
变式4：不等式 |x-1|-|x+3| ≤ a解集为空集, 则a的取值范围是 .

（解决问题）现在由学生回答开课时抛出的一例四变式的转化形式，引导学生享受胜利的喜悦，感受成功收获，增强学习数学的信心。

例2：：已知函数f(x)=x2-ax+a,若存在x∈[-1,2]使得f(x)>0,试求实数a的取值范围。
　解：法一：f(1)=1>0，所以对a∈R,均存在x∈[-1,2]使得f(x)>0.
法二：原题同解于：当x∈[-1,2]时，f(x)max＞０,即：
　　　 f(-1)>0或f(2)>0
代入可得:1+2a>0或４－a>0
　　　　　　　 　　a>-0.5或a<4
　　　 　 ∴a∈R
让学生尝试转化有解问题。
1、对有同学思考到法一，要认真对待并鼓励学生的发散思维。并趁机再次阐述此法对存在与任意两类问题解决的区别。即此法对任意性问题行吗？
用投影仪打出某学生用根的分布解决问题的方法，两方法比较。

例3：方程x2-２x+２－a＝０在区间（０，３）内有解，则实数a的取值范围是 。
解：原题同解于：a＝x2-２x+２，x∈（０，３）的值域。
　　　　　　　　　　　　　a＝（x－１）2 +１
　　　　　　　　　　　∴a∈[f(1)，f(3)）即a∈[１，５）
让同学比较此题的有解问题与上题的有解问题的区别
初步引入分离变量法的分离变量的思想。为后题做准备。

例4：A={x|x2-mx+1≥ 0},B=R+,A∩B=B, 求ｍ的取值范围。
分析：A∩B=B可得BA。即:x>0时, x2-mx+1 ≥ 0
解略
法二：原题同解于：x2-mx+1 ≥ 0在(0,+∞)上恒成立, 求ｍ的取值范围。

引导学生把问题转化为恒成立问题后由学生自己先做，观察学生作题情况看是否有同学用二次方程根的分布解题，有则用投影出来，以备以两种方法做比较。

例5：不等式ax2-x-a+1<0对满足|a|≤2的所有a都成立，求ｘ的取值范围。

分析： 对f(x)= ax2-x-a+1而言，已知参数范围，求定义域。
设g(a)=(x2-1)a-x+1<0 -2≤ a≤2,则转化为已知定义域求参数范围。即：

此题难度加大，通过构建新的题型，让学生自己分析理解，找到此题上前面试题的相同点与相异点，发现矛盾所在，并转化矛盾。让学生感受数学中的矛盾与统一的辩证思想，数学中简洁明快的数学之美。

成都市新都香城中学：邵成林

５、 小结：一、恒成立、存在性、有解问题的转化方法。
二、分离变量方法
三、端点取值。
四、数形结合思想。
思考题：1.已知 不等式（a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对一切实数恒成立，求a的取值范围。
2.关于x的不等式2x2-9x+m≤0在区间［ 2,3］上恒成立，求实数m的取值范围.
八、[板书设计]：
（备注：其它部分未板书部分，如复习，引入，新课都流程，均设计在课件内）
　　　　　　　　　　　一类函数的恒成立、存在性化归

１、 恒成立问题　　例1：　　　　　　　例2：　　 　　　　　例4：

２、 存在性问题式

３、 有解问题 　　变式：1~4 例3 ： 　　　　 　　例5：

九、[作业]：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0
1当| x | ≤2，上式恒成立，求实数m的取值范围 ；
2当| m | ≤2，上式恒成立，求实数x的取值范围 .
例2、若不等式ax2-2x+2>0 对x∈(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。
3．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
例3、设不等式对一切实数x都成立,则k的范围是 。
第二课时（题纲）
恒成立常见类型：
1、f(x)>a型，分离变量法
2、f(x)>g(a)型，
3、f(x)>g(x)型，转化为f(x)-g(x)>0，（或常用图象法）而不是f(x)min>g(x)max
恒成立常见题型处理方法
1、赋值法；2、一次函数型；3、二次函数型；4、变量分离型；5、数形结合型.
十、[课后反思]：
学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

本节课以学生近期易错题引入，调动学生积极性和求知欲；以现实生活中的口语深入浅出来分析理解现实生活中的“恒成立”与“存在性”问题，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索；通过类比，引导学生将现实生活中的问题转化到数学中，体现由“实践……观察……归纳 ……猜想…… 结论…… 验证应用”的循环往复的认知过程，通过这个方法，把这一节课学生认知中的难点，即“恒成立”与“存在性”问题向最值的转化分层简了；在学生理解“恒成立”与“存在性”问题这一难点中，再给出符号语言，图形语言，生活口语三种语言相结合，引导学生归纳总结，通过师生互动，强化学生对此问题化归的理解。

在设计本教案时，应增加教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程。例3之前，为必做题，必做题是让学生巩固所学的知识，熟练知识的化归思想。设计的例4、例5，为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，提高了问题处理的难度，提高了知识处理的技巧，同时将运用例2打下的伏笔，即分离变量的运用，从而较轻松地解决例4。

本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开，按照认知规律及学生认知特点，由浅入深，由表及里，设计一系列教学活动过程。在教学过程中，体现了学生为主体的教学理念，重能力与态度的培养，在活动中培养学生自主、交流合作、探究、发现的能力，培养了学生参与学习的兴趣和体验。
同时体现老师的主导地位，少而精的讲授，重指导和点拨，在学生自主探究、实践的基础上，相机启发，恰当点拨，促进学生知识由感性向理性提升，由具体到概括抽象，形成师生间的有效互动。激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索 ，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，树立了学好数学的自信，养成独立思考习惯.
与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念。只有这样，才能让数学课更有生机和人性，才能真正提高学生的数学素质。

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