拓扑空间中连续映射的证明.doc

拓扑空间中连续映射相关命题证明
摘要：定义在欧式空间的连续函数，将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射，从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念，本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义, 总结连续映射的相关命题，并给出详细证明过程。
关键字：连续函数，拓扑空间，点连续

1连续性的简要说明
由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设是一个函数，，则在处连续的定义有如下几种描述方法：
（1）序列语言
若序列收敛于，则序列收敛于；
（2）语言
对于，总可以找到，使当时，有

（3）邻域语言
若是包含的邻域（开集），则存在包含的邻域，使得。
详解：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）。[1]
2拓扑空间
2.11拓扑空间的定义
设是一非空集，的一个子集族称为的一个拓扑，若它满足
（1）；
（2）中任意多个元素（即的子集）的并仍属于；
(3) 中有限多个元素的交仍属于。
集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间，记。中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
2.12常见拓扑
1）离散拓扑 —— 非空集合的所有子集构成的集族（包括）。
2） 平庸（平凡）拓扑 ——是非空集合，。
2.21拓扑空间中开集，是开集是开集。
证明：设是上的开集。若，则必有且。于是，存在的球形邻域及.
取，则是的球形邻域，且有，于是，故是开集。
2.22若和都是上的拓扑，则是上的拓扑。[2]
证明：若，
且.
因此，是上的拓扑。
3度量空间
3.11度量空间相关概念
设X为集合, 为一映射,如果对于任何x，y，z∈X，有:
.

对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．[3]
3.21度量空间的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。
证明：如右图所示，设
，则有记

则知，于是
证毕。
3.22 设(度量空间)的子集族 是若干个球形邻域的并集
则是上的一个拓扑。
证明：由于球形邻域是开集，于是可以表示为无穷个球形邻域的并，表示为零个球形邻域的并；又由的定义知，任意多个邻域的并必属于；
设，记

则 （由分配率）

由引理，一定满足的条件，即属于，故是若干个球形邻域的并，即.
3.23度量空间（X，ρ）的球形邻域，如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．
设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．显然．＞0．如果z∈B（y，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y，）B（x，ε）．
3.24度量空间X中任意两个开集的交是一个开集；
证明：设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B（x因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V。
由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．
4拓扑空间中连续映射的证明
4.1度量空间（X，ρ）的球形邻域，对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者.[4]
证明:如果B（x，）和B（x，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B（x，ε）B（x，）∩B（x，）即B（x，ε）满足要求．
4.2设（X,T)，（Y,),(Z,)都是拓扑空间，则
（1） 恒同映射:（X,T)（X,T)是一个连续映射。
（2） 如果:则也是连续映射.
证明(1)如果U∈,我们有，因此。
(2) 设都是连续映射,如果,则,因此,但,因此若U∈,必有因此连续.
4.3设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．f在点处是连续的，则f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；
证明：令U为f（）的一个邻域．f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以B（，δ）（U），这证明（U）是的一个邻域．任意给定f（）的一个邻域B（f(),ε），则（B（f()，ε）是的一个邻域．有一个球形邻域B（，δ）包含于（B（f（），ε）．因此f（B（，δ））B（f（），ε）．这证明f在点处连续．
4.4设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X，f是连续的，则Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集
证明：对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U．从而x∈（V）（U）．根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x而言f在点x处连续．由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．

参考文献
[1] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京:高等教育出版社,1998.
[2] 凯莱J L.一般拓扑学[M].北京:科学出版社,1982.
[3] 高国士.拓扑空间论[M].北京:科学出版社,2000.
[4] 余玄冰.点集拓扑[M].北京: 北京师范大学出版社,1983.