高中二面角的平面角的详细讲解.doc

高中立体几何中二面角的平面角的作法
一、 二面角的平面角的定义
如图（1），α、β是由l出发的两个平面, O是l上任意一点 OC ∈α，且OC⊥l；CD∈ β，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：

Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征Ⅱ可知AB⊥β . 突出l、OC、OD、AB，这便是另一特征；
Ⅲ、体现出完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背景。
二、 对以上特征进行剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1
矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起， 使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—D的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给定量计算提供了优质服务。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“展平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。
特征Ⅲ显示，如果二面角α—l—β的两个半平面之一，存在垂线段AB那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥l，此时，∠AOB就是二面角α—l—β的平面角，如图。

由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
例2已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征Ⅱ指出，如果二面角α—l—β的棱l垂直某一平面γ;那么γ与α、β的交线所成的角就是α—l—β的平面角，如图。

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点。求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小。

例3的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，
由特征Ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如果思维由特征Ⅲ监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1),即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，如图。

三、三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
在许多问题中可借助由特征Ⅲ，找到(作出) “垂线段”便可定位。

例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时，求二面角P—AC—B的大小。

作法∵A—CP—B为直角二面角，
∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。
∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。
∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
再说，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角的平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。
二面角·典型例题分析
例1 如图1125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。

    分析  由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
    解  ∵ PC⊥平面ABC
    ∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角。
    设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是   
　　∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△DEA
    评注  本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
    例2  在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（图1－126）

    分析  设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.

    同理，有PB⊥a，
    ∵ PA∩PB=P，
    ∴ a⊥面PAQB于Q
    又 AQ、BQ平面PAQB
    ∴ AQ⊥a，BQ⊥a.
    ∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
    ∴  ∠AQB＝60°
    连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有
    ∠PAQ＝∠PBQ=90°
    ∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R
    在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得
    AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
    由正弦定理：
    评注  本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。
　 例3  如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求（1）二面角B－PC－D的大小；（2）平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。

    分析  二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱。
    解  （1）∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
    ∴ BD⊥PC（三垂线定理）
    在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角。
    在Rt△PAB中，由PA＝AB=a
    ∵  PA⊥平面ABCD，BC⊥AB  ∴ BC⊥PB（三垂线定理）

    在Rt△PBC中，

    在△BDE中，根据余弦定理，得

　　    ∴ ∠BED＝120°
    即二面角B－PC－D的大小为120°。
    （2）过P作PQ ∥AB，则PQ平面PAB，
    ∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ 平面PCD
    ∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ
    ∵  PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
    ∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
    ∴  CD⊥PD（三垂线定理的逆定理）
    ∵  PQ∥CD  ∴ PD⊥PQ
    所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角。
    ∵ PA＝AB=AD，∴∠APD=45°
    即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°。
    评注  在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角。
例4．在四面体ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，求AC的长．
分析：作出二面角A－BD－C的平面角

在棱BD上选取恰当的点

AB＝AD，BC＝DC
解：取BD中点E，连结AE，EC
∵ AB＝AD，BC＝DC
∴ AE⊥BD，EC⊥BD
∴ ∠AEC为二面角A－BD－C的平面角
∴ ∠AEC＝60°
∵ AD＝2，DC＝4
∴ AE＝，EC＝
∴ 据余弦定理得AC＝．
［例题的功能］本题的主要作用是让学生体会作二面角的平面角的第一个方法：由二面角平面角的定义，直接构造出平面角．另外让学生体会在立体几何中，求解线段的长或求两条直线的成角，往往是将所求线段或角放到三角形中，利用平面几何的知识进行计算．
例5．河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？
分析： 已知 所求

河堤斜面与水平面所成角为60° E到地面的距离

利用E或G构造棱上一点F 以EG为边构造三角形
解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．
在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．
由此得：
EG＝EFsin60°
＝CE sin30°sin60°
＝10××≈4.3（m）
答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．
本题的主要作用是让学生学会用三垂线定理或其逆定理构造二面角的平面角．并让学生正确作出直观图，利用此题培养学生的数学抽象能力及文字语言和图形语言的相互转化能力．
分组讨论，由学生简述思路及解题过程．
9