“解决问题”教学的关注重点.doc

解决问题”教学的关注重点
（平国强作者单位系浙江省杭州市教研室）
小学数学中的“解决问题”可以广义地理解为通过思考，设计某种程序或行动，使“他”从当前的状态到达所期望的目标的状态。这里所说的“问题”，是指他有一个目标，但他不能用原有的经验直接到达目标，即当前状态与目标状态之间存在障碍，故解决问题重在过程。显然，“解决问题”应该是数学学习的基本方式，是数学学习的“常态”。数学概念、计算法则、空间知识等的学习，都应该体现为解决问题的过程，只有在过程中，学生才能真正学会探索、学会应用、发展思维。
然而，当我们提及“解决问题”教学时，其内涵往往是特指教材中以“解决问题”为标题或以此为指向的例题和单元。这样理解未尝不可，但容易产生一个问题：将“解决问题”与原来的“应用题”等同起来。
狭义地讲，数学中的“解决问题”是根据数学情境，理解与简化信息，综合运用数学知识，分析问题结构，提炼数量关系与方法模型，获得问题结果或解决的程序，积累数学经验、发展数学思维的过程。因此，无论是广义还是狭义的理解，“解决问题”教学与“应用题”教学都是有区别的。传统的应用题教学，其目标是使学生熟练解答各类形式化的习题，一类一例，分类训练，以便再次碰到相同类型的问题时能正确回忆，顺利解决。重视的是解题，关注的是形式，造成了应用题与其他数学内容割裂封闭，独立成体系。新课程里的“解决问题”，旨在通过让学生综合应用所学数学知识，解决带有现实背景的数学问题，从而提高学生的知识运用能力和数学应用意识，发展数学思维。因此它更关注解决问题的过程与策略，关注学生从问题情境中获取信息、提炼方法模型的经历，关注学生在解决问题过程中表现出来的思维的个性化和创造性，关注由此积累起来的解决实际问题的经验和这种经验的迁移能力，从而提高数学素养。
由此可见，“解决问题”教学的核心是发展学生的数学思维，而这也是数学教育的根本目的。本文就从这个角度提出“解决问题”教学应该关注的重点。
一、见树见林，整体把握“思维梳理”的阶梯。
从教师的角度看，胸中有全局，了解并熟悉小学数学各个学习阶段“解决问题”的教学内容、教学目标及学习过程中的思维关注点，是十分重要的。唯此，我们才能避免教学中的“见树不见林”现象，保持思维梳理的延续性，这在当前传统的应用题内容与教法体系被完全打破，而新的内容与教法体系尚处混沌初开的时节显得尤为必要。
1.把握解决问题的纵向发展阶段。
通过分析可以知道，小学数学“解决问题”总体上呈现如下特征：问题情境从“非形式化、非良构型、非类型化”向“形式化、良构型和适度类型化”发展；解答方法从“倡导自主多样”向“构建基本模型”发展。事实上，这个过程正反映了“生活数学”向“学校数学”的上升过程，其间对思维训练的要求逐步提高。
“解决问题”在内容上则呈现出以下阶段性的特征：
由此可见，只有把握好各个教学阶段的思维梳理重点，才能将“解决问题”的教学目标落到实处，有效有序地促进学生思维的发展。
2．注意解决问题类型的横向拓展。
现行实验教材所设计的“解决问题”的例题与以往的教材相比，大大地减少了。在这样的背景下，我们必须思考：“解决问题”是否就是学习这几个例题所呈现的问题类型？学生解决问题的能力如何得到真正的提高？笔者的观点是应该采用“由典型例题向一般数学问题拓展”的设计思路，改变以往那种“通过大量的例题学习与形式训练让学生掌握各类问题的解答方法”的教学思路，将例题所提供的解决问题的方法作为基本的思考模型，去实现“多情境、跨领域”的问题拓展。例如：
这些拓展性的问题，拥有共同的解法模型，但却不局限于例题的类型，使学生能不断面临新的问题，主动思考。
二、突出关键，明确解决问题的思维过程。
这是在明确各阶段的教学内容和思维梳理重点基础上的又一个关注点，它应体现两个方面：一是面对具体问题时知道解决的思维过程，二是清楚解决该问题的关键所在。它涉及问题能否被顺利解决这一基本目标。
1．梳理解决问题的思维过程。
如果将G·波利亚关于数学解题过程的论述作一个简化提炼，应该可以用“理解、转换、实施、反思”八个字来表示，而这正是教师在解决问题的教学中需要通过思考、交流与梳理让学生领悟到的解决问题的一般过程，并且前两个步骤应该成为我们梳理的重点。因为“理解与转换”实际上反映了“数学信息的获取与有效信息的筛选、数量关系的分析与数学语言的表达、解题思路的把握和解题计划的确立”这些重要的思维环节，它们是整个解决问题过程中思维的核心。
例如，下图是某教材三年级下册“解决问题”中的一个例题。笔者认为类似问题的教学不应仅仅满足于学生能列式解答这一例题，而应以此为载体，让学生领悟到解决一个数学问题的完整的思维过程，否则，我们将失去数学促进学生思维发展的功能与价值。因此本题应让学生经历以下的数学思考过程：
（1）通过观察与交流获取有效的数学信息，理解情境并形成完整的数学问题——某场团体操有60人参加表演，他们分成2个大圈，每个大圈由5个小圈组成，问每个小圈有多少人？
（2）分析信息之间的关系，并用数学语言表述数量关系——其一，每个大圈的人数÷小圈的个数＝每个小圈的人数；其二，参加的总人数÷小圈的总个数＝每个小圈的人数。这实际上揭示了两种解决问题的思路。
（3）选择解决问题的思路，并思考：根据所选择的解题思路，应该先算什么，再算什么。
（4）列式解答并反思答案的合理性和问题的解决过程。
以上过程并非多余，它能促进学生在解决问题的过程中思维更有条理，是“问题情境——建立模型——解释应用”过程的具体化，如果通过不断的领悟而使学生内化为自己的一种思维习惯，将有助于学生面对更复杂的问题时拥有正确的思维过程。
2．引导学生把握问题的关键和思路指向。
一个完整的、结构良好的问题情境应该具有相关的数学信息和由此提出的数学问题，并且这些数学信息之间存在着内在的、本质的联系，由此可以生成新的问题或结论。显然，当呈现的是一个较复杂的数学问题时，现有信息的结论指向与问题所需的信息之间存在着思维的障碍，两者不能直接连接，要将两者顺利对接，可能需要一个过渡性的问题或结论（中间问题），这便是解决问题的关键。无论是传统的应用题教学，还是现在的解决问题教学，这种思维的关键都是客观存在的，只有清楚地把握并有效地突破思维过程中的关键点，思路才会畅通，问题才能得以顺利解决。
某教师对教材（人教版三年级下册）例题做了改编：
兰兰和她的小伙伴到少儿图书馆参加实践活动，他们碰到了下面的问题：要把400本新书放到书架上，平均一格要放多少本呢？（图示两个书架，每个有4格）
教师在教学中，首先让学生独立思考、尝试解决，然后进行算式展示和想法交流，最后在此基础上讨论、总结解决本问题的思路与关键，并用课件直观演示：
这样的梳理是必要的，学生能较好地把握问题的关键，了解不同的思路及相应的思考方向，从而确定正确的解题计划。
三、学会表征，掌握解决问题的思维方法。
问题表征，即将数学信息从纷繁的情境中提取出来，根据信息之间的内在联系，用数学化的语言与方式揭示信息之间的关系与结构，从而找到解决问题的思路与突破口。它是用可操作的方法将G·波利亚关于解题过程中的“转换”环节加以具体化。
1．结合问题情境，有意义地表征数量关系。
从三年级开始，小学数学解决问题从以一步计算为主转入以两步计算为主，即开始两重数量关系的复合，因而解决问题的思路也变得丰富起来。到了四年级，类似于“速度×时间＝路程”这样一般化的数量关系正式成为学习内容，而到五年级学习用方程解决问题时，“相等关系”（数量关系的发展）已成为列方程不可逾越的前提。因此，在这一阶段，应结合具体的问题情境，引导学生表述并揭示其中的数量关系，理解每一种算法的思路与信息结构，这样不仅有利于很好地解决当前的数学问题，而且也能促进学生的后续学习。
鸡兔同笼问题（即笼内鸡兔若干，已知有8个头，26只脚，问鸡兔各几只），学生并非完全陌生，很多学生会用“假设法”来解决，但不一定知道“为什么可以用假设法解决”，“用了假设思想以后数量关系发生了怎样的变化”……因此，对于这样的问题，教学时就更应关注数量关系的揭示和算法思路的梳理。以下是一位老师的教学过程简录：
1．揭示问题情境，理解信息：你们能解决这个问题吗？
2．学生尝试解决问题。
3．汇报交流。
（1）展示解决问题的方法。
方法一：假设全部都是兔，4×8-26＝6（只）；鸡有6÷（4-2）＝3（只）；兔有8-3＝5（只）。
方法二：设兔有x只，得4x＋（8-x）×2＝26，x＝5，鸡有8-5＝3（只）。
方法三：列表。
方法四：画图。
所以兔有5只，鸡有3只。
（2讨论每种方法的思路和数量关系，理解算式的意义。
4．观察交流：想一想，如果请你分类，你觉得这些方法可以分成几类？
（1）学生汇报并阐述理由：
生1：可以分成四类：假设法、方程法、表格法、画图法。
生2：我觉得前面两种方法是一类，它们都是假设的，第三种方法一类，第四种方法一类。
生3：我觉得好像可以把第一、第三、第四种方法分成一类，它们都有假设的意思，第二种方法是方程方法。
……
（2）教师引导学生对第三位学生的意见展开讨论，逐步明确：第一、三、四3种方法本质上都是假设，只是第一种假设的全部都是鸡或兔，而另外两种实际上假设部分是鸡或兔，所以要逐步调整，直到找到答案。
5．思考：假设的目的是什么？
通过讨论，明确假设的目的是为了与实际的信息产生矛盾，即与总脚数之间产生一个差，然后抓住这个矛盾解决问题。
以上教学已不仅仅停留在解决单个问题上，更关注方法和思路的梳理，关注数量关系的提炼与清晰的表征，促使学生整体、灵活地掌握解决问题的方法，提高了应用能力。
当然，数量关系表征的方式可以是多样的，让学生自主表征与交流，同样值得提倡。
另外，数学问题丰富多样，变化纷繁，但是解决问题的思路却是有章可循的，这就需要在表征数量关系时类化解决问题的思路。一直以来，几何直观作为揭示与分析数量关系的有效手段而在解决问题的教学中被我们所重视，同样在促进思路的类化中也具有不可替代的作用将暗箱中的思维赋予形象化的载体，可以做到既有直观性，又不失数学性，提升学生的学习水平和问题类化的能力。
2．关注思维方法，提高解决问题的有效性。
学生要从当前的问题状态达到需要的目标状态，必须对数学信息和问题之间直接或间接的联系进行思考与分析，在这个过程中，综合思维和分析思维这两种思维方法起到了重要的作用。
简单地说，综合思维是从问题情境中的数学信息出发，分析它们之间的关系，思考可以得出的可能结果；而分析思维则是从问题出发，思考解决该问题所必需的信息是什么，从而有目标地从问题情境中寻找相关的数学信息。应该说，这两种思维方法在解决问题的过程中具有同等重要的地位，它们都是对事物之间本质联系的把握。事实上，在解决问题的过程中，两种思维方法常常是结合起来运用的。综观现行小学数学实验教材，直接提供问题情境（主题图或情境图），让学生观察以后提出问题、再解决问题的设计可谓比比皆是，这样的方式，使学生的综合思维能力得到了发展。反过来，要求学生从问题出发，思考解决该问题所必需的数学信息的设计却十分稀少，这不能不说是一种遗憾。故笔者认为，教师在教学中应关注并补充类似的教学设计，发展学生的分析思维。例如：
学校运动会上要给每位同学发一瓶饮料，根据现有的信息，请你提出一个需要两步计算解决的数学问题，你觉得信息够吗？如果要请你解决“三、四年级每人1瓶，一共要花多少元”这个问题，需要补充什么信息？
小学数学课，具有公共基础的性质，因此，它不仅仅追求某些方面的精深，更应关注思维方式、方法各方面的均衡与和谐发展，从这个角度讲，综合思维与分析思维两者不应偏废。
“数学问题的重要性主要的不仅仅在于其直接的应用，而是其数学思维训练的价值和潜在的对发展智力的影响。”（任樟辉，《数学思维论》）我们之所以认为，解决问题作为提高学生综合应用数学知识、发展思维的有效载体，应该结合教学内容对学生的数学思维过程和思维方法作必要的训练与梳理，使学生积累必要的解决问题的经验，提高数学能力，皆是出于这一认识。
（平国强作者单位系浙江省杭州市教研室）