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转载“平均数”教学的误区及重构（市级一等奖）
　　摘要：平均数的教学目前仍然存在着不少的误区，表现在几个方面：知识领域界定的误区；教学重点的把握偏移；理解"平均数能较好地反映一组数据的总体情况"的肤浅；探究平均数的求法，只为方法。基于这样的情况，我们很有必要进行教学的重构。重构我们主要从两个方面去把握：一是正确理解平均数在"统计学上的意义"；二是在正确理解的基础上实现教学瓶颈的突破。
　　关键词：平均数教学误区重构
　　"平均数"（这里指的是算术平均数，以下同）的教学，由于诸多原因，目前仍然存在着不少认识和教学行为上的误区。为了印证这个说法，近期，我在我市举行的"平均数"同课异构活动中进行了一个小小的问卷调查：
　　（1）"平均数"知识你认为属于下面哪一个知识领域？（ ）
　　A.解决问题B.统计与概率
　　（2）你认为"平均数"一课的教学重点是什么？（ ）
　　A.求平均数的方法B.平均数的意义获得
　　与会教师大约200人，对于第一个问题有4人认为是"解决问题"领域，约占2%，对于第二个问题，有15人认为教学的重点是"求平均数的方法"，约占总数的7.5%。从调查问卷看，似乎我们的教师已经从"简单的应用题"教学认识转变过来了。但是，在实际教学中，是否这样呢？同课异构中，其中一位教师就明显表现出把"平均数"往"应用题教学"重心偏移。下面我们再以一则案例来窥探教师们的教学观念和行为的转变。
　　这是我市09年五年级期末试卷中的试题：
　　判断：如果a＞b＞c，这三个数的平均数是1.8，则a＞1.8（）。
　　据小学数学教研室抽样调查发现，全市抽查500份试卷，只有249份正确，得分率仅有49.8%。一道并不算难的试题，得分率为什么这么低呢？据此，我们可以非常肯定地推断，我们的教师在教学"平均数"一课时出现的偏差。由此，引发我们对"平均数"教学的再认识与思考。
　　一、"平均数"教学的误区
　　1.知识领域界定上的误区
　　仍然有极少数教师认为"平均数"属于"解决问题"领域，把"平均数"教学当成"简单的应用题"进行教学。造成这个原因既有历史的原因（以前把平均数教学纳入应用题领域），也有教师个体不及时学习，没有转变认识造成的。
　　2.教学重点的把握偏移
　　虽然已经认识到"平均数"属于"统计与概率"范畴，但是由于教师对于"平均数"在统计学上的意义认识不够，仍然把教学的重点放在"求平均数的方法"上，导致认识上转变而教学行为依旧。
　　3.理解"平均数能较好地反映一组数据的总体情况"太肤浅
　　对于"平均数"的这个特点，老师们没有细化其中蕴含的丰富内涵，而是简单理解为："因为平均数能较好地反映一组数据的总体情况，所以当两组数据出现不好比较时，就要用到平均数"这个层面，显然，这样的理解是太肤浅了。学生也因此在学习中根本无法获得"丰富的体验和认识"，对于"平均数"这样的概念建构就出现先天性不足。
　　4.探究"平均数的求法"，只为方法
　　探究平均数的求法，很多教师就只为得出这个方法，建构解题模型，为后续的"平均数应用题"服务。其实这也是一个教学认识的误区，本课的重点、难点都是"平均数的意义"，探究"平均数的求法"，一方面是建构解题模型，而更重要的是让学生从另一个角度加深对意义的理解。对于"平均数的求法"，由于学生有"平均分"知识和生活常识为起点，求简单数据的平均数已经不成为学生学习的重点、难点。
　　二、"平均数"教学的重构
　　平均数教学存在着那么多教学误区，因此，我们要在对平均数再认识的基础上实现"教学重构"，突破教学实践探究的瓶颈。
　　(一)研读"平均数"在统计学上的意义
　　新课程标准指出，"平均数"是"统计与概率"的范畴，是统计学中的一个基本统计量，反映了一组数据的集中程度，用它可以刻画一组数据的一般水平。
　　新课程标准对于相关的具体教学目标是这样表述的：
　　第一学段：通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数（结果为整数）。第二学段：通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征
　　基于以上的认识，我们有必要对"平均数"的意义进行逐层分析，以加深对意义的理解和教学把握。
　　1.平均数是统计中的一个重要概念
　　平均数是统计中的一个概念，所以我们首先应该把它界定为数学概念学习的范畴，把它当成一个重要的概念进行教学。
　　2.平均数可以刻画一组数据的一般水平
　　平均数是统计学中的一个基本统计量，用它可以刻画一组数据的一般水平。由此我们要思考的问题是：为什么平均数可以刻画一组数据的一般水平，它的这种特性我们应该怎样让学生真实体验到呢？
　　3.平均数反映一组数据的集中程度，由此衍生出许多特征
　　平均数是统计学中的一个基本统计量，反映了一组数据的集中程度，由此衍生出平均数的许多特征：虚拟性、集中趋向性、敏感性、齐次性等。对于这些特征我们的学生应该进行一个怎样的学习、探究呢？
　　相关词语解读：
　　（1）虚拟性：平均数的概念与过去学过的平均分的意义是不完全一样的，平均数是一个"虚拟"的数，是借助平均分的意义通过计算得到的。如把12块糖平均分给3个孩子，平均每人分得4块，这个"4块"是每个孩子实际分得的数；如果说3个孩子一共有12块糖，平均每个孩子有4块，这个"4块"就是平均数，因为不一定每个孩子都有4块糖。由于平均数不是一个"真实"的值，所以要充分利用教具、学具，用直观的方式帮助学生理解平均数的含义。
　　（2）集中趋向性：表现为平均数的大小是在最大数与最小数的之间的一个数。
　　(3)敏感性：平均数的敏感性是指，一组数的平均数易受这组数据中的每一个数据的影响，"稍有风吹草动就能带来平均数的变化"。
　　4.平均数的主要作用
　　平均数的作用主要有：可以比较同一时期内同类事物（或者现象）的差别；可以反映同类事物（或现象）在不同时期的变化和发展趋势；可以估计、推测其他有关指标。
　　（二）研读教材与经典，突破教学瓶颈
　　人教版实验教材把"平均数"安排在三年级下册第三单元《统计》中，分两个例题呈现。那么，两个例题应该承载那些教学任务呢？我们的教师在教学中又应该怎样突破呢？下面结合对教材的理解和名师教学经典片段进行简要的分析，以谋求教学瓶颈的突破。
　　1.平均数的产生
　　平均数是统计中的一个重要概念，所以例题1首先应该承载的教学任务是"平均数的产生"，但是分析这个例题，显然不太适合承载这个教学任务。因此，我认为应该重新创设一个平均数产生的现实背景题材，让学生在具体的情境中，直观感受平均数在一组数据中的代表性，感受"平均数是反映了一组数据的集中程度"，从而引出"平均数"。江苏南京市的张齐华老师对此设计了"1分钟投篮挑战赛"（用珠子记录篮球数）这样一个教学情境：
　　小力投篮情况：
　　师：三次都投中了5个。现在看来，要表示小力1分钟投中的个数，用哪个数比较合适?
　　生：5。
　　小林投篮情况：
　　师课件出示小林第一次投中的个数：3个。不过，麻烦来了。(出示小林的后2次成绩：5个，4个)三次投篮，结果怎么样?
　　生：三次成绩不同
　　师：是呀，三次成绩各不相同。这一回，又该用哪个数来表示小林1分钟投篮的一般水平呢?
　　生：可以用4来表示，因为3、4、5三个数，4正好在中间，最能代表他的成绩。
　　小刚投篮情况：
　　课件出示三次投篮成绩分别是3、7、2个。
　　师：这一回，又该用几来代表他1分钟投篮的一般水平呢?
　　生：我觉得可以用4来代表他1分钟的投篮水平。他第二次投中7个，可以移1个给第一次，再移2个给第三次，这样每一次看起来好像都投中了4个。所以用4来代表比较合适。
　　师：还有别的方法吗?
　　生：我们先把小刚三次投中的个数相加，得到12个，再用12除以3等于4个。所以，我们也觉得用4来表示小刚1分钟投篮的水平比较合适。
　　[师板书：3+7+2=12(个)，12÷3=4(个)]
　　情境赏析：平均数为什么能较好地反映一组数据的总体情况，它是在怎样的一种情境中产生的？对此，张老师抓住了学生的认知特点，层层设置情境进行对比、诱导，让学生一步一步地主动获得对平均数的需求，同时很好地感受到平均数的特征。而平均数的求法渗透其中，通过动态的"移多补少"的过程，为理解平均数所表示的"均匀水平"提供感性支撑，更好地凸显了平均数的意义。
　　2.平均数的特征
　　"平均数是反映了一组数据的集中程度。"（或教材中语：平均数能较好地反映一组数据的总体情况）平均数的这种特性由此衍生出平均数的"派生特征"，这种特征对于学生全面理解平均数，解决平均数的相关问题有着重要的建构意义。因此平均数的虚拟性、集中趋向性、敏感性等应该以例题为基本素材，引导学生去感知、体验。这是例题应该承载的第二大项教学任务。
　　紧接着以上的情境，张齐华老师顺势让学生很好地理解了平均数的"虚拟性"：
　　师：我们就说4是3、4、5这三个数的平均数。那么，在这里(出示投篮成绩统计图)，哪个数是哪几个数的平均数呢?
　　生：在这里，4是3、7、2这三个数的平均数。
　　师：不过，这里的平均数4能代表小刚第一次投中的个数吗?
　　生：不能
　　师：能代表小刚第二次、第三次投中的个数吗?
　　生：也不能!
　　师：奇怪，这里的平均数4既不能代表小刚第一次投中的个数，也不能代表他第二次、第三次投中的个数，那它究竟代表的是哪一次的个数呢?
　　生：这里的4代表的是小刚三次投篮的平均水平。
　　生：是小刚1分钟投篮的一般水平。
　　情境赏析：平均数的虚拟性是学生理解的一个难点，结合情境和投篮成绩统计图理解虚拟性很好地突破了这点，同时也为学生理解平均数与一组数据的关系及后面的应用奠定基础
　　而吴正宪老师在突破平均数的集中趋向性特点时创设了这样一个情境：
　　教师出示北京五一期间自然博物馆出售门票统计图（图中显示每天的售票情况分别是1100、1300、1000、900、700）。
　　师：请你估计一下，这5天中平均每天售出多少门票？
　　生估计结果：1000、1100、900、1500等。
　　师：大家估的准不准，请你用自己的方法验证一下？
　　生：有移多补少的，也有进行计算的（1100+1300+1000+900+700）÷5=1000张。
　　此处教师采取了师生互动质疑，发现平均数的取值范围介于最大数和最小数之间。
　　师：如果你是自然博物馆馆长，看到这个信息，有什么想法？
　　情境赏析：估计、验证的目的是让学生感受平均数的集中趋向性，即取值范围；而设想自己是博物馆长，又让学生运用平均数知识进行决策，解决问题，很好地体现了平均数的应用价值。
　　3.平均数的求法
　　平均数的求法也是教学任务之一，但不是教学重点，因为学生已经有了"平均分"知识和生活常识为支撑，求简单数据的平均数就不成为学习的重点、难点。而在教学"移多补少"这个方法的同时，更应该借助学具、课件等让学生直观感知"平均数"的特征：集中趋向性、虚拟性，从而让学法的获得和意义的建构相得益彰。
　　参考文献：
　　[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标注（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社.2001.
　　[2]张奠宙等.《小学数学研究》[M]．北京：高等教育出版社.2009，01.