宜昌市一中2015年高二3月月考数学(理)试题及答案.doc

1．把化为八进制数为
A． B．
C． D．

2．已知函数的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是

A　　 　　 B C　　 　　 D

3．已知一三角形边长为，其中为最大边，则该三角形是钝角三角形的概率为
A． 　 　 B． C． D．

4．设函数，满足，则的展开式中的系数为
A．－360 　 B．360 C．－60 　 D．60

5．以下四个命题中，真命题的个数为
①命题“ ”的否定是“
②若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；
③“”是“直线垂直”的充分不必要条件；
④直线与圆相交于两点，则弦的长为．
A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．

7．设，点为所表示的平面区域内任意一点，，为坐标原点， 为的最小值，则的最大值为
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的值不可能为
A． B． C． D．

9．正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是
A． B． C． D．

10．设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是
A．1 B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．某校高一高二田径队有运动员98人，其中高一有56人．按用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取高二运动员人数是 ．

12．若在上可导，，则 ．

13．如图，是上的两点，且，，为中点，连接并延长交于点，则 ．

14．三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法种数为 ．

15．若抛物线的内接的重心恰为其焦点，则
⑴ ；
⑵ ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足．
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

17．（本小题满分12分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

w w w .x k b 1.c o m

18．（本小题满分12分）已知函数,．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)若的最小值为0，求实数的值．

19．（本小题满分12分）
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点， 于，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示.
（Ⅰ）求二面角A–DC –B的余弦值．
E
B
C
A
D
F
（Ⅱ）在线段上是否存在点使得平面？若存在,请指明点的位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分13分）已知为椭圆的右焦点，椭圆上的任意一点到点的距离与到直线的距离之比为．
(Ⅰ)求直线的方程；
(Ⅱ)设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，直线与交于点．以为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

21．（本小题满分14分）牛顿在《流数法》一书中，给出了一种求方程近似解的数值方法——牛顿法．它的具体步骤是：
①对于给定方程，考查其对应函数（左图中较粗曲线），在曲线上取一个初始点；
②作出过该点曲线的切线，与轴的交点横坐标记为；
③用替代再作出切线，重复以上过程得到．
一直继续下去，得到数列，它们越来越接近方程的真实解．（其中，）
如果给定一个精确度，我们可以根据上述方法得到方程的近似解．
其算法程序框图为右图：

w w w .x k b 1.c o m

请回答以下问题：
(Ⅰ)写出框图中横线处用表示的关系式；
(Ⅱ)若，，，则该程序运行的结果为多少？
(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下（精确度不计），证明所得满足使数列为等比数列，且．

根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35)的人数为500×0.35＝175． ……4分
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人． ………………………………………6分
由题意知，X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝＝． ……………10分
XX K B 1.C O M
0
1
2
P
新$课$标$第$一$网

……………………12分
令，则，
由，解得；由，解得．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
故，即当且仅当时，.
因此，． …………………………………………………………………………………………12分

19. 解：（Ⅰ）因为平面平面，交线为，
又在中，于，平面
所以平面 . …………………………………………………………………2分
由题意可知，又.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系
不妨设，则.
由图1条件计算得，，，
则
.
由平面可知平面DCB的法向量为.
设平面的法向量为，则
即 ……………………………………………………………4分
令，则，所以. 平面DCB的法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为 …………………………………………………6分
（Ⅱ）设，其中. 由于，
所以，其中
所以 ……………………………………………10分
由，即 解得.
所以在线段上存在点使，且. ………………………12分
方法二：（Ⅰ）由题意为正三角形，且为的中点，不妨设,
则，由，过作的延长线的垂线于，连，
可知，为二面角的平面角， ……………………………………3分
,
故二面角的余弦值为. ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）取中点为，中点为，连接，交于，
不难得：，则，为所求， …………………………8分
设,，为上靠近点的一个三等分点，
，

所以在线段上存在点使，且 . ………………………12分

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21. 解：(I)由已知，的方程为，令得； …2分
(II) ，，故， …………3分
当时，，此时，进行循环，
当时，，此时，故输出； ……… 5分
(III)由(II)，数列满足且，
， ……………………………… 7分
故，而，
为以为首项，为公比的等比数列． ……………………………… 9分
，得， ……………………………… 10分
方法一：（与等比数列比较）
考查，比较与的大小，
当时，，
当时，由于，时取等
（其中等号均在时取得）．
故 ……………………………… 12分
…………… 14分
方法二：（裂项求和）
当时，由
得， ……… 12分

………… 14分

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