2013年5月黄冈中学二模理科数学试卷及答案解析.doc

湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．设非空集合P、Q满足，则（ ）
A． B．，有
C．，使得 D．，使得
2．已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量服从正态分布N (3，7)，若，则a =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知集合， ，且，则
A． B． C． D．
5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）
2
2
3
1
2
2
1

正视图 侧视图
2
2

俯视图
（第5题图） （第6题图）
A．4+ B．4+ C．4+ D．4+
6．如右上图，已知为如图所示的程序框图输出的结果，二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )
A． B． C． D．
7．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件为“x +y为偶数”， 事件为“x ，y中有偶数且“”，则概率（ ）
A． B． C． D．
8．正项等比数列中，存在两项使得，且，则的
最小值是( ) 新- 课-标- 第-一 -网
A． B．2 C． D．
9．设满足约束条件，若 恒成立，则实数的最大值为( )
A． B． C． D．
10．已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题分，共分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．
11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．
12．已知函数 ()的图象如下图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为 ．

13．某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，
3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2013时，
对应的指头是 (填指头的名称)． X k B 1 . c o m
14．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，当
取最大值时的余弦值为．则（Ⅰ）椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）若椭圆上存在一点,使(为坐标原点)，且,则的值为 ．
·

第15题图

O
C
D
B
A
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图,在△ABC中,AB＝AC,72° ,⊙O过A、B两点且与BC相切
于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝,则 ．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线的极坐标方程分别为，
，则曲线与交点的极坐标为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若向量,试求的取值范围.

18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．ttp://w ww.xk
（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．学

19．（本题满分12分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，
，.
（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与所成锐二面角的大小．

20．（本题满分12分）已知正项数列{an} 的前项和，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）定理：若函数在区间D上是下凸函数，且存在，则当
时，总有．请根据上述定理，且已知函数是
上的下凸函数，证明：bn ≥ ．xK b1. Co m

21．（本题满分13分）抛物线:上一点到抛物线的焦点的距离为，为抛物线的四个不同的点，其中、关于y轴对称，，， ， ，直线平行于抛物线的以为切点的切线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）到直线、的距离分别为、，且，的面积为48，求直线的方程．

22．（本题满分14分）已知函数在处的切线的斜率为1．
（为无理数，）
（Ⅰ）求的值及的最小值；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：．（参考数据：）

数学（理）试卷答案及解析
选择填空：BDCBA BBACB
11．20 12． 13．小指 14． ， 15．2 16．
1．【解析】故选B．
2．【解析】故选D．
3．【解析】由题意知对称轴为，故选C．
4．【解析】故选B．
5．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A．
6．【解析】由程序框图得，通项公式，的最小值为为5． 故选B．
7．【解析】故选B．
8．【解析】，，解得，
由得，X|k |B | 1 . c |O |m
（当取等），故选A．
9．【解析】作出可行域，由恒成立知
令，由图可知，当直线与椭圆相切时，最小，消 得：得∴．故选C．
10．【解析】由题意可得，函数的周期是4， 可将问题转化为
与在区间有几个交点． 如图：由图知，有9个交点．选B．

11．【解析】．
12．【解析】， ，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝ [0－(－x3＋ax2)]dx＝(x4－ax3)|＝a4＝，∴a＝．
13．【解析】∵小指对的数是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指．
14．【解析】设分别为椭圆的长轴长，虚轴长，（Ⅰ）当点位于短轴端点时， 最大，得 或设
，；
（Ⅱ）取中点，由得
设得，
，
15．【解析】由已知得，，解得．
16．【解析】由解得，即两曲线的交点为．
17．【解答】(Ⅰ)由题意得，
即，由正弦定理得，
再由余弦定理得，.
(Ⅱ) ，X|k |B | 1 . c |O |m
，
，
，
所以，故.
18．【解答】（Ⅰ）由已知条件得 ， 即，则．
（Ⅱ）解：可能的取值为0，1，2，3．
； ；
；
的分布列为：

0
1
2
3

所以 ．
19．【解答】（Ⅰ）证明：连结，交与，连结，X|k |B | 1 . c |O |m
在中，分别为两腰的中点， ∴，
面，又面，平面 ，
（Ⅱ）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

设平面的单位法向量为，则可设
设面的法向量，应有
，
即：，
解得：，所以 ，
∴ ，所以平面与所成锐二面角为60°.
解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ，
∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D，
∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC，
∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，
在△中，，，
可以计算 ，
在△中， ，
所以平面与所成锐二面角为60°.
20．【解答】（Ⅰ）当时，或．
由于{an} 是正项数列，所以．
当时，，
整理，得．
由于{an}是正项数列，∴．
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
从而，当时也满足．∴．
（Ⅱ由（Ⅰ）知， 又是上的下凸函数，
根据定理，得 ，
令，整理得，
，．
21．【解答】（Ⅰ）|QF|=3=2+ ， =2．
（Ⅱ）抛物线方程为，A()， D()， B() ，C()，
，，，
，，，
，
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补， ．新- 课-标- 第-一 -网
（Ⅲ）设，则m=n=|AD|sin，
，
即，
把与抛物线方程联立得：，
，，同理可得，

，
，．
22．【解答】（Ⅰ） ，由已知，得∴a＝1．
此时，，
∴当时，；当时，．
∴当x＝0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，∴f(x)min＝f(0)＝0．
（Ⅱ）记，,
设
①当时，，，
，，时满足题意；
②当时，，得, X k B 1 . c o m
当，，在此区间上是减函数，,
∴在此区间上递减， 不合题意.
综合得的取值范围为.
法二：当时，，即．
①当时，；②当时，等价于．
记 ，，则．
记 ，则，
当时，，在上单调递增，
且，在上单调递增，且，
当时，，从而在上单调递增．
由洛必达法则有，．
即当时，，所以当时，所以，因此．
的取值范围为.
（Ⅲ）记，，令解得，
当时函数有最大值，且最大值为 ， ，
,
，
又
，
，
即.

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