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第九讲 “牛吃草”问题

有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？
这类问题称为“牛吃草”问题。
解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。
下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）

从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量，就要进行转化。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。
需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有的草量。
所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9－15×9=72）。
牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。
例2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
分析与解答：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的。船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量。对于这个问题我们换一个角度进行分析。
如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。
船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。
每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40－30）÷（8－3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。
船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。所以船内原有水量为30－2×3=24。
如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2=12人。但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。
从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量。有了这两个量，问题就容易解决了。
例3：12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等）？
分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。
12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10=33.6）。
21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天（63×21÷30=44.1）。
1公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即：
(44.1－33.6)÷(63－28) = 0.3（头）
1公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即：
33.6－0.3×28=25.2（头）
72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天，即：
72×25.2÷126=14.4（头）
72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天即：
72×0.3=21.6（头）
所以72公亩牧场上的牧草可供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天，问题得解。
解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？
（63×21÷30－12×28÷10）÷（63－28）=0.3（头）
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？
12×28÷10－0.3×28=25.2（头）
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？
72×25.2÷126＋72×0.3= 36(头)
例4：一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只头吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
分析：由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。
解：60只羊每天吃草量相当于多少头牛每天的吃草量？
60÷4=15（头）
草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天？
16×20=320（天）
80只羊12天的吃草量可供多少头牛吃一天？
80÷4×12=240（头）
每天新生长的草量够多少头牛吃一天？
（320－240）÷（20－12）=10（头）
原有草量可够多少头牛吃一天？
320－20×10120（头）
原有草量可供10头牛与60只羊吃多少天？
120÷（60÷4＋10－10）=8（天）
例5：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天？
20×5=100（台）
水库原有水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？
6×15=90（台）
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？
（100－90）÷（20－15）=2（台）
原有的水可供多少台抽水机抽1天？
100－20×260（台）
若6天抽完，共需抽水机多少台？
60÷6＋2=12（台）
例6：有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也相同。三片草场的面积分别为亩、10亩和24亩。第一片草场可供12头牛吃4周，第二片草场可供21头牛吃9周。问：第三片草场可供多少头牛吃18周？
用方程解：
解：设每亩草场原有的草量为a，每周每亩草场新生长草量为b。依题意
第一片草场（亩）原有的草与4周新生长的草量之和为：
（）a＋（4×）b
每头牛每周的吃草量为（第一片草场亩）：
[]÷(12×4)== (1)
第二片草场（10亩）原有的草与9周生长出来的草为：
10a＋10×9)b
每头牛每周的吃草量为：（第二片草场）
(2)
由于每头牛每周吃草量相等，列方程为：
(3)
5a=60b
a=12b（表示1亩草场上原有草量是每周新生长草量的12倍）
将a=12b代入（3）的两边得到每头牛每周吃草量为。
设第三片草场（24亩）可供x头牛吃18周吃完，则由每头牛每周吃草量可列出方程为：
(4)
x=36
答：第三片草场可供36头牛18周食用。
这道题列方程时引入a、b两个辅助未知数，在解方程时不一定要求出其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。
习 题 九
1． 一场牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃多少天？
2． 22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完；17头牛吃28亩同样的草地上的草，84天可以吃完。问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天？（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）
3． 有一牧场，17头牛30天可将草吃完；19头牛则24天可以吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完。问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？
4． 现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？
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