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素数分布基本定理
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学
E-mail：632158@
我们可以把自然数列按照某个自然数分段，并把这个分段记为T，表示第r个分段。例如：按照自然数3分段，就是每隔3个数分一段。
1，2，3；4，5，6；7，8，9；…………
第1段为1，2，3记为，……第r段记为
按照自然数5分段，就是每隔5个数分一段。
1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；…………
第1段为1，2，3，4，5记为，……第r段记为

我们把第1分段中的全部质数叫基质数。例如中的基质数为2，3
中的基质数为2，3，5
定理：1设T是自然数的任一分段，在内，分段中基质数倍数的个数不大于分段中基质数的倍数的个数。
证明：
设，是中的基质数。
集合，，那么由容斥定理我们可以得到，A中元素的个数为
集合，，设B中元素的个数为S
B中元素的个数最多为
当时，由于 是不超过n的所有质数，所以n至少能被之一整除，否则n为质数，这与是n中最大的质数矛盾。当时，。故n至少能被之一整除。不妨设，存在正整数q使那么中有q个的倍数。我们按正整数把正整数分段，可以把中的数刚好分为q段。以此类推可以得到中的数刚好也可以分为q段，每一段末尾的数刚好就是的倍数。这就是说中的倍数正好就是q个。即中的倍数正好就是个。不必加1. 对于其它质数，中的基质数的倍数最多，那么倍数的个数最多为，因此根据组合公式就是从m个质数中任意取一个，又因为刚好可能整除n，所以n个连续的自然数中，刚好有个数能被整除，不再加1，故可以得公式。同理，可以得到中的基质数的倍数最多为：

又因为

所以

又因为所以
即：分段中基质数倍数的个数不大于分段中基质数的倍数的个数。
素数分布基本定理：2把自然数列1,2,3......按顺序每n个数分一段，是不超过n的所有质数，那么在内，每一段数中至少有一个数不能被整除。也就是说在内，每一段数中至少有一个数是素数。
证明：根据定理1，我们知道分段中基质数倍数的个数不大于分段中基质数的倍数的个数。也就是说第一个分段中，的倍数的个数是最多的，但是至少有一个数不是的倍数，那就是1.因此，每个分段中至少有一个数不是倍数。也就是每一段数中至少有一个数不能被整除。再根据素数的判定，在内，不能被整除，这个数就是素数。故每一段数中至少有一个数是素数。
这个定理非常重要，它对于一些重要的有关素数分布的猜想的证明给出了强有力的理论基础。它是素数分布的一个基本定理。这个定理的证明直接导至了一些重要的著名的数论问题的解决。
定理：3设T是自然数的任一分段，，质数 中的最大质数，若，那么中至少有一个质数。
证明：设，因为所以是中的基质数的一部分。
集合，，那么由容斥定理我们可以得到，A中元素的个数为
集合，，设B中元素的个数为S
根据定理1可以知道
，所以，

所以，，这就说明在中至少有一个数不能同时被整除，根据质数的判定定理，因为质数 中的最大质数，即是的前部质数，不能被整除的数必为质数。
定理：4已知：，m为整数，质数p为不超过m的最大素数。
求证：
证明：设是2m的前部质数，即是不超过的质数，且是不超过的最大质数。
当时，，即，两边开方可以得到.
把自然数按分段，则至少可以分一段，当又因为，，，所以故在至少有一个质数。当又因为，，，所以故在至少有一个质数。
当时，逐个验证。所以.
设p是不超过m的最大质数，是不超过的最大质数，因为所以，又因为，即有p个数且，由推论1可以知道，之间至少有一个质数。
即：
定理：5在质数和之间，每隔个数至少有一个素数。
证明：设，是中的基质数。
集合，，那么由容斥定理我们可以得到，A中元素的个数为，n为中
元素的个数
集合，，中的元素在和之间，
设B中元素的个数为S，根据定理1可以知道
，所以，

所以，，这就说明在中至少有一个数不能同时被整除，根据质数的判定定理，小于数的平方根都小于，即是和之间数的前部质数或者比前部质数的个数多，不能被整除的数必为质数。也就是说，在质数和之间，每隔个数至少有一个素数。

勒让德猜想
勒让德猜：

证明：设是不超过n的所有素数。
把自然数按n分段，之间可以分两段。因为
，这两段分别是

根据素数分布基本定理：
这两段中分别至少有一个数不能被
整除。下面我们证明这两个数就是素数。

那么，也就是说如果以内的数不能被整除那这个数一定是素数。 这两段中分别至少有一个数不能被
整除。那么这两个数一定是素数。
奥波曼猜想
。

证明：

因为根据勒让德猜：

所以。
伯兰特猜想

证明：因为，所以，n到2n之间有n个数。设不超过n的素数为，那么不超过n的素数一定不小于不超过的素数。
再根据素数分布基本定理，以自然数n把自然数列分段，那么n +1到2n之间至少有一个数不能被素数整除。如果在2n内的数不能被不超过的素数整除，那么这个数是素数。也就是说这个不能被素数整除的数就是素数，故n到2n之间至少有一个素数。
布罗卡猜想：
在质数和之间至少有四个质数，其中是指第m个质数，(m>1)
证明:
因为，所以，也就是说在和之间至少可以按个数分4段，每一段中至少有一个质数，故在质数和之间至少有四个质数。
W·H·米尔斯立方数猜想：
在立方数之间至少有两个质数。
证明思路：之间包含
证明：
取,那么

要使这个不等式成立只需，也就是，两边平方可以得到，故只需

又因为不全相等，所以不等式恒成立。
也就是说之间包含，又因为之间至少有两个质数，故在之间也至少有两个质数。
质数分布的规律是以连续质数的平方即和为间隔呈阶梯式分布，即在之间每隔一个数至少有一个质数；在之间每隔两个数至少有一个质数；……在和之间每隔个数至少有一个质数；……或以和之间隔呈阶梯式重叠分布，即在之间每隔一个数至少有一个质数；在之间每隔两个数至少有一个质数；……在和之间每隔个数至少有一个质数；……。

弯国强
2011-5-23