《3.2函数模型及其应用》导学案2.doc

《3.2函数模型及其应用》导学案2
学习目标
1.掌握求解函数应用题的基本步骤，并能利用常见的函数模型解决实际问题.
2.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.
学习过程
复习导入
前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题，并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题；另外在一些实际问题中，还会遇到对函数模型的灵活选择以及应用的问题，本节课就来研究这类问题.
重点知识
问题1:我们所学过的重要的函数模型有哪些？
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；
问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的？
(2)在解决实际问题过程中，该如何做才能找到合适的数学模型？
(3)解函数应用问题的基本步骤是什么？
(1)一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题的 ，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 ，在此基础上将 问题转化为一个 问题，实现问题的数学化，即所谓的建立数学模型. 
(2)① :建立直角坐标系，画出散点图；
② :根据散点图设想比较接近的可能的函数模型.
例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型.
③ :利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型.
(3)第一步:阅读理解，审清题意.
第二步:引进数学符号，建立 .
第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果.
第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.
问题3:(1)对于一些函数实际应用问题，我们该如何分析？
(2)数学模型的实质是什么？
(1)把问题模型化，思考我们要研究的问题与我们学习过的知识有何关系，把实际问题转化为 去研究，利用函数性质特点求解出数学问题，再转化为实际问题的解.
(2)数学模型是用 模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用 来表达，数学模型可采用各种形式，如方程(组)，函数解析式，图形与网络等.
基础学习交流
1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ).
A.200副 B.400副 C.600副 D.800副
2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ).
A.15 B.40 C.25 D.130
3.一个水池每小时注入水量是全池的0.1，水池还没有注水部分与总量的比y随时间x(小时)变化的解析式为 .
4.某人有资金2000元，拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？(下列数据供参考:lg 2≈0.3010，lg 5.4≈0.7324，lg 5.5≈0.7404，lg 5.6≈0.7482)

重难点探究
探究一
用已知函数模型解决实际问题
某县目前有100万人，经过x年后有y万人，如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题:
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).

探究二
分段函数模型的应用
WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元计费；超过500分钟则超过部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短，在1分钟以下不计费，1分钟以上(包括1分钟，不超过60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.问:
(1)小周12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？
(2)小周10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机可以上多少分钟的网？
(3)你会选择WAP手机上网吗？若用电脑上网的收费为60元/月，你会用哪一种方式上网？

探究三
建立拟合函数模型解决实际问题
某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40

投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51

该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).

思维扩展应用
应用一
分贝是表示声音强度相对大小的单位，物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，60~110为过渡区，110以上为有害区.
(1)根据上述材料列出声压级y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P=0.002帕，试问该地区为以上所说的什么区？
(3)2013年春节联欢晚会上，某小品类节目上演时，现场响起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到90分贝，试求此时中央电台大厅的声压是多少帕？

应用二
某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N+)(天)之间的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N+)(天)之间的关系如表:

第t天
5
15
20
30
Q件
35
25
20
10

(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系.
(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式.
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)

应用三
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序
x
y
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度的图像.
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图像.

自主测评
1.某种商品2012年提价25%，2013年欲恢复成原价，则应降价( ).
A.30% B.25% C.20% D.15%
2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( ).
A.人可在7秒内追上汽车 B.人可在10秒内追上汽车
C.人追不上汽车，其间距最少为5米 D.人追不上汽车，其间距最少为7米
3.现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲:y=x2+1；乙:y=3x-1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用 作为拟合模型较好. 
4.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系:
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量y(件)
60
30
15
0

(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.