数值分析上机作业1-1.doc

数值计算方法上机题目1
1、实验1. 病态问题
实验目的：
算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：
考虑一个高次的代数多项式
（E1-1）
显然该多项式的全部根为l，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动
(E1-2)
其中是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：
为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab函数：“roots”和“poly”，输入函数
u＝roots（a）
其中若变量存储维的向量，则该函数的输出为一个维的向量。设a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程

的全部根，而函数
b=poly(v)
的输出b是一个n＋1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“Poly”是两个互逆的运算函数.
ve=zeros(1,21);
ve(2)=ess;
roots(poly(1:20))+ve)
上述简单的Matlab程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的。
实验要求：
（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？
（2）将方程（E1-2）中的扰动项改成或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？
实验步骤：
（1）程序
function t_charpt1_1
clc
result=inputdlg({'请输入扰动项:在[0 20]之间的整数:'},'charpt 1_1',1,{'19'});
Numb=str2num(char(result));
if((Numb>20)|(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整数!');return;end
result=inputdlg({'请输入(0 1)之间的扰动常数:'},'charpt 1_1',1,{'0.00001'});
ess=str2num(char(result));
ve=zeros(1,21);
ve(21-Numb)=ess;
root=roots(poly(1:20)+ve);
x0=real(root); y0=imag(root);
plot(x0',y0', '*');
disp(['对扰动项 ',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']);
disp(num2str(root));
二、 实验结果分析
ess分别为1e6,1e-8.1e-10,1e-12.
对扰动项 19加扰动1e-006得到的全部根为:
21.3025+1.56717i 21.3025-1.56717i 18.5028+3.6004i 18.5028-3.6004i 15.1651+3.76125i 15.1651-3.76125i 12.4866+2.88278i 12.4866-2.88278i 10.5225+1.71959i 10.5225-1.71959i 9.04485+0.594589i 9.04485-0.594589i 7.9489+0i
7.00247+0i 5.99995+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i
对扰动项 19加扰动1e-010得到的全部根为:
19.9953+0i 19.0323+0i 17.8696+0i 17.2186+0i 15.4988+0.0211828i 15.4988-0.0211828i 13.7707+0i 13.1598+0i 11.9343+0i 11.029+0i 9.99073+0i 9.00247+0i 7.99952+0i 7.00007+0i 5.99999+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i
ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下：

从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。
（2） 将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n越小，扰动引起的误差越小。
2、实验2。多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge）现象
问题提出：
考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间上函数

实验内容：
考虑区间的一个等距划分，分点为

则拉格朗日插值多项式为

其中的，是n次拉格朗日插值基函数。
实验要求：
（l）选择不断增大的分点数目，画出原函数及插值多项式函数在上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数

重复上述的实验看其结果如何。
（3）区间上切比雪夫点的定义为

以为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。
实验步骤：
（1） 试验程序：
function y=Lagrange(x0, y0, x);
% Lagrange插值
n= length(x0); m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if(j ~= k)
p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j));
end
end
s = s + p*y0(k);
end
y(i) = s;
end

function t_charpt2
promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};
titles = 'charpt_2';
result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});
Nb_f = char(result);
if(Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！');return;end

result = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1{'10'});
Nd = str2num(char(result));
if(Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return;end

switch Nb_f
case 'f'
f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;
case 'h'
f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;
case 'g'
f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;
end
x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);
x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x);
fplot(f, [a b], 'co');
hold on;
plot(x, y, 'b--');
xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');

增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。

n=3 n=6

n=7 n=8
从图中可以看出，随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。通过分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。

（2） 将原来的f(x)换为其他函数如h(x)、g(x)，结果如图所示。其中h(x), g(x)均定义在[-5，5]区间上，h(x)=x/(1+x4)，g(x)=arctan x。

h(x), n=7 h(x), n=8

h(x), n=9 h(x), n=10

g(x), n=8 g(x), n=9

g(x), n=12 g(x), n=13

分析两个函数的插值图形，可以看出：
随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -5和x=5处出现了很大的振荡现象。通过图形可以看出，当n为偶数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为奇数时，其振荡幅度变得很大。原因和上面f(x)的插值类似，h(x)、g(x)本身是奇函数，如果n为偶数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是奇次幂，比较符合h(x)、g(x)本身是奇函数的性质；如果n为奇数，那么Lagrange插值函数Ln(x)的最高次项xn-1是偶次幂，与h(x)、g(x)本身是奇函数的性质相反，因此振荡可能更剧烈。
3、实验3。 样条插值的收敛性
问题提出：
一般的多项式插值不能保证收敛性，即插值的节点多，效果不一定就好。对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，也超出了本课程的内容。通过本实验可以验证这一理论结果。
实验内容：
请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验2.中的函数或选择其它你有兴趣的函数，可以用 Matab的函数 “spline”作此函数的三次样条插值。在较新版本的Matlab中，还提供有spline工具箱，你可以找到极丰富的样条工具，包括B-样条。
实验要求：
（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差变化情况。分析所得结果并与拉格朗目多项式插值比较。
（2）样条插值的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下问题：某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0.0
0.79
1.53
2.19
2.71
3.03
3.27
2.89
3.06
3.19
3.29

0.8

0.2
实验步骤：
（1）程序：
function t_charpt2
promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};
titles = 'charpt_2';
result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});
Nb_f = char(result);
if(Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！');return;end

result = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});
Nd = str2num(char(result));
if(Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return;end

switch Nb_f
case 'f'
f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;
case 'h'
finline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;
case 'g'
f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;
end

x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);
x = a:0.1:b;
cs = spline(x0, y0); y = ppval(cs, x);
plot(x0, y0, 'o'); hold on; plot(x, y, 'k-');
xlabel('x'); ylabel('y = fx) o and y = Spline(x)-');
实验结果：
如图所示。

f(x), n=5 n=10 n=20

h(x), n=5 h(x), n=10 n=20

g(x), n=5 n=10 n=20
图中可以看出，由于其采用了分段三次多项式拟合的方法，随着三次样条插值的插值结点的增加，并没有出现振荡现象。
（2） 程序：
x0=0:10;
y0=[0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29];

x=0:0.1:10;
pp=csape(x0,y0,'complete',[0.8 0.2]);
y = ppval(pp, x);
plot(x0, y0, 'o'); hold on; plot(x, y, 'k-');
xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Spline(x)-');
车门的曲线如下图：

9