高中数学高一第一学期题库-平面向量.doc

1. 平面向量基本概念
1. 已知,,
，其中，给出以下命题：
（1）；（2）；（3）；（4）.
其中正确的命题是________（写出正确命题的序号） 1、2、4
2. 当满足_________时，使得平分的夹角 模相等且不共线
（一）相反向量
1. 已知向量=(sin2x,-f(x)),=(-m,cos2x+m-)(mÎR) 且与互为相反向量.
(1) 求f(x)的表达式;
(2) 若xÎ[0,),f2(x)-lf(x)+1的最小值为-2,求实数l的值.
（二）平面向量基本定理
1. 已知点E，F是正△ABC的边BC上的两个三等分点，若AB = 3，则= ▲ ．
2. A
B
C
D
M
P
Q
（第16题）
如图，在□ABCD中，已知，，M为边CD的中点，P，Q分别是边AB，CD上的动点．
（1）用a，b表示向量与；
（2）若，求x + y的值．

（1）， ．
（2）设，， 则．
又．
由分解的惟一性定理，得x + y = 1．

3. 正三角形的边长为15，
（1）求证：四边形为梯形；
（2）求梯形的面积.
解：（1）略；
（2）向量线性分解：得

2. 平面向量坐标运算
1. 在梯形ABCD中,AD//BC,ÐABC=,AD=1,BC=2,P是腰AB所在直线上的动点,则
|3+2|的最小值为 .
方法：特殊化思想，可考虑直角梯形
2. 在直角坐标系中，分别是与轴，轴正方向平行的单位向量，若直角三角形中，，则实数 ．
3. 在平面直角坐标系中，已知点，，其中.
（1）若，求证：；（2）若∥，求的值.
解：（1），，------------2分
， -----------5分
，∴,∴，∴.------------7分
（2） 由（1），，若∥
则，----------------------------10分
∴，， ∴， -------------------------12分
∴.--------------------------------------------------14分

3. 平面向量的数量积
（一）平面向量数量积的射影解释
A
B
C
E
F
D
（第9题）
1. 已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为 __________.1
变式：（2012,9）如图，在矩形ABCD中，
点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则
的值是 ____
（二）平面向量数量积
引例1：已知椭圆C的标准方程为，点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，则的取值范围为________________
∵，∴ ，∴
设，则，即
∴
∵ ，∴ ，则的取值范围为
引例2：已知为椭圆的两个焦点，若点P在椭圆上，且满足，Q是轴上的一个动点，则= ．-20
优化方法：关注到求值，暗示我们是一个常数，和Q点的位置关系无关，可取特殊，当点Q位于坐标原点时，此时计算得到结果为
优化：
评注：求向量数量积的值或者取值范围时，有时需要对向量进行线性分解时，看能否利用垂直关系？
练习：
1. 在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且= _____.
答：18 提示:设AC与BD相交于点O，

2. 两个半径分别为的圆，公共弦，则9
连接圆心交于点，则为公共弦的中点，设为线段的中点，故
3. 已知的外心为，且，则-8
4.（2013年南京高三数学二模）在中，已知AB=2，BC=3，，BDAC，D为垂足，则的值为____
5. 如图，正六边形的边长为，则______

6. 已知是平面上不共线的三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若
，，则
引例3. 已知向量，满足，，且对一切实数，恒成立，
则与的夹角大小为_________ 思考：能否从数、形两角度分别给出解法？
类题比较：（2006年全国联赛）已知，若对任意，，则为 _________ 三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）

（三）平面向量数量积的应用
1. 已知O是△ABC的外心，AB = 2a，AC = ，∠BAC = 120°，若 = x＋y，则
x＋y的最小值是 ．2
2. 在△ABC中，，则角A的最大值为_________．
解：转化为边的关系（余弦定理）；余弦定理结合基本不等式
３. 是等腰直角的两腰的中点，则为____________
4. 变式1：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D
为AC中点，点E满足，则＝______．
变式2：是内一点，，
则= ．
1. 已知点E，F是正△ABC的边BC上的两个三等分点，若AB = 3则= ．
2. 在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且 _____.
变式：两个半径分别为的圆，公共弦，则
3. 已知的外心为，且，则
4. 如图，正六边形的边长为，则______
5. 在平面四边形中，若，
则 .
6. 向量，满足，，且对一切实数，恒成立，
则与的夹角大小为_________
7. 已知向量，，满足，，则的最小值为 ．
变式：已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a+c)·(b+c)＝0，则|c|的
最大值是
8. 若，若两向量夹角为钝角，则实数的取值范围是_______
9. 已知的重心为，且，则
10. 已知是平面上不共线的三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若
，，则
11. 将函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量=______
12. 直角三角形中，斜边长为2，是平面内一点，点满足
，则= .
13. 等边△ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数的值是 ．
14. 三角形ABC中AP为BC边上的中线，=3，，则||=
15.扇形半径为，圆心角∠AOB＝60°，点是弧的中点，点在线段上，且．则的值为 ．
16. 向量，设向量，则
.
17. 如图，在中，已知为线段上的一点，
（1）若，求的值；
（2）若，，且与的夹角为时，求的值。

18. 已知．（1）若，求；Ks5
（2）若的夹角为60°，求；（3）若，求的夹角．

19. 已知,若,
(1) 试求当为何值时，点在第三象限内.(2)求的余弦值.
(3) 过作交于点,求点的坐标.(4)求

20. 已知在直角坐标系中（O为坐标原点），,.
(Ⅰ) 若点A、B、C是一个三角形的三个顶点，求x的取值范围；
（Ⅱ）当x=6时，直线OC上存在点M，且,求点M的坐标.

（四）平面向量模问题的应用
1. 已知向量，，满足，，则的最小值为 ．
坐标法、特殊化、向量方程的转化
2. 已知a,b,c是平面内的三个向量，其中a=（1,2）。
（1） 若，且c//a，求c的坐标；
（2） 若，a+2b与2a-b垂直， 求a,b的夹角。
3. 集合D=｛平面向量｝，定义在D上的映射f满足对任意x∈D，均有
（1） 若，且a,b不共线，试证明：
（2） 若A（1,2），B（3,6），C（4,8），且求
4. 向量的基本概念及向量的线性运算
（一）向量的基本概念的考察
1. 已知向量与不共线，若存在，使，则
2. 若向量与满足，则的取值范围是_________
3. 已知点是内一点，若，则点是的_心
4. 与同向的单位向量可表示为___________；与共线的单位向量可表示为__________；
研究：已知是所在平面上一定点，动点P满足：
（1），点形成的图形一定通过的 心
（填外心、内心、重心、垂心） 内心
（2），点形成的图形一定通过的 ______ 心 重心
（3），点形成的图形一定通过的 ______ 心 垂心
5. 表述并证明向量的共线定理.（存在性和唯一性）
6. 证明向量的三角不等式：，并交待等号成立的条件.
（同号相等是同向，异号相等是反向）
7. 三个重要的向量模型：
（1）三角形中线模型：
（2）三点共线模型：若是平面内的任意一点，，
则三点共线（证明充要条件）
（3）重心模型：若是的重心，结论有：
（1）若，则
（2）；（3）
（4）结合中线模型：等价变形：
变式：的重心为，的中点分别是则
8. 在平行四边形中，设则

向量的基本运算抓住两条主线：形与数。一是基于形，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和（差）；二是基于数的对上述操作的概括（或称形式化），向量的多边形法则。注意“形”与“数”的结合与印证。
9. 若是所在平面内一点，且满足，则的形状为______________ 直角三角形；
10. 若点是内一点，若，且，则的形状为___________ 正三角形；
11. 如图所示，已知的面积为，分别是边上的点，且，则的面积为________
12. 已知点分别是和的重心，且，，
，则
解：对向量进行算三次，利用重心模型，可得结论.
13. 平面内有一个和一个点，线段的中点分别为，边的中点分别是，设
（1）试用表示向量
（2）证明：线段交于一点且互相平分.

（二）线性运算问题的考察
1. 已知是一对不共线的非零向量，若,，且共线，则
变式1：已知是一对不共线的非零向量，若，，
，若三点共线，则 -8
变式2：已知是一对不共线的非零向量，若，，
，若，证明：三点共线
变式3：已知向量,，其中是一对不共线的非零向量，向量,问是否存在实数，使与共线
2. 已知是平面上的三个点，直线上有一个点，满足，则（用表示） 插点法
3. 已知向量满足,则
平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和
4. 在中，点是的中点，若则
5. 若是平面内的任意一点，，则三点共线
变式1：若是平面内的任意一点，，若，试确定点的位置.
解：，线段上或的延长线上；，在线段的反向延长线上
时，点与点重合.
变式2：已知是所在平面内一点，且（）
（1）若点在直线上，则应满足什么条件？
（2）若，证明：点必在内
可优化的一类问题：
引例1. 如图，在正方形中，为的中点，为以为
圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为
引例2. 是圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若
，则的取值范围是_______
1.（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知为锐角三角形的外心，，若，且，则
2.在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 .
3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向若且，C点所有可能的位置区域的面积为 ．
4. 若内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为
5. 在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最大值为_________． 3
由题易得：，求的最大值（可考虑三角换元或直接基本不等式）
6. 在中，，，，设是的中点，是所在平面内一点，且，则的值是______.1
另解1：坐标法；
另解2：加上一个向量,也可以完成；
另解3：或者将三个向量同时插入一个点也可以；
6. 在任意四边形中，分别是的中点，求证：
（算两次的数学思想，教材习题，三种方法）
7. 已知是线段外一点，且
（1）若点是线段的三等分点，试用向量表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.
教材习题，倒序求和方法的思路来源
8. 已知是单位向量，向量的模为2，若，则实数的值为______
9. 在中，，，，点为的中点，则
10. 已知所在平面内一点（点与点不重合），且,则与的面积之比为________ 作图发现规律：2
变式1 是内一点，，则= ．
变式2 已知为内的两点，且，，则与的面积之比为________
变式3 设在内，且，则____；______
变式4 内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为
变式5 △ABC的面积为1，三角形内点P满足,则△PAC的面积为 .
11. 在中，两条对角线与交于点，是平面内任意一点，求证：

（三）算两次思想在向量问题中的应用

1. 在中，为角平分线，点为的中点，交于点，若，，且，，用表示出
解：由内角角平分线定理可得，，故，
由向量的三角形中线模型得：，
，
得：，故,
2. 在中，点分别在边上，且，与交于点，求及的值 及
3. 在中，交于点，设试以为基底表示（）

将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则向量等于_____________