导数——平均变化率与瞬时变化率.doc

本讲教育信息】
一. 教学内容：
       导数——平均变化率与瞬时变化率

二. 本周教学目标：
1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．
2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．

三. 本周知识要点：
（一）平均变化率
1、情境：观察某市某天的气温变化图

2、一般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

（二）瞬时变化率——导数

1、曲线的切线
如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

割线PQ的斜率为，即当时，无限趋近于点P的斜率．
2、瞬时速度与瞬时加速度
1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.
2）确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：
要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s＝s（t），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：
位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）
平均速度
根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t0的瞬时速度
同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．
3、导数
设函数在（a,b）上有定义，．若无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．
几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．
导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．

【典型例题】
例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的体积（单位：），计算第一个10s内V的平均变化率．

解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为

即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为．

例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．
解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为

在[－3,－1]上的平均变化率为

函数在[0，5]上的平均变化率为

在[0，5]上的平均变化率为

例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．
解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为

函数在[1，2]上的平均变化率为

函数在[1，1.1]上的平均变化率为

函数在[1，1.001]上的平均变化率为

例4、物体自由落体的运动方程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3这一时段的速度.
解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）
当Δt无限趋于0时，无限趋于3g＝29.4 m/s．

例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），
（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.
（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.
（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.
分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越小，求出的越接近某时刻的速度.
解：∵＝4t+2Δt
∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．
（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．
（3） Δt0， （4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s

例6、曲线的方程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程．
解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：

斜率为2
∴切线的斜率为2．
切线的方程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．

【模拟试题】
1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy）， 则＝（   ）
A. 4       B. 4Δx         C. 4+2Δx           D. 2Δx
2、一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（      ）
A. 从时间到时，物体的平均速度； B. 在时刻时该物体的瞬时速度；  
C. 当时间为时物体的速度；           D. 从时间到时物体的平均速度
3、已知曲线y＝2x2上一点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线方程.
4、求曲线y＝x2+1在点P（－25）处的切线方程．
5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．
6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s＝s（t）＝t2（位移单位：m，时间单位：s），求小球在t＝5时的瞬时速度
7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．
【试题答案】
1、B   
2、B
3、解：（1）时，k＝

∴点A处的切线的斜率为4.
（2）点A处的切线方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2
4、解：时，k＝

∴切线方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.
5、解：Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16
∴时，y′|x＝3＝16
6、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.
∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.
7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s