第32讲 柱锥台球【理科】.doc

数学第一轮复习讲义 第二章《平面向量》
第三十二讲 柱锥台球

【复习目标】
1、 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2、 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；
【基础知识回顾】
1、棱柱的定义：__________________________________________________________________________。
2、棱柱按底面图形分，可分为_____________________
按侧棱与底面是否垂直可分为________________ 和________________；底面是正多边形的直棱柱叫做___________________；底面是平行四边形的棱柱叫做_____________________；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做_____________________。
3、棱锥的结构特征：有一个面是______________，其余各面都是有一个_____________的____________。
4、棱台的定义：_______________________________
棱台的各侧棱延长后交于一点。
5、分别以矩形、直角三角形、直角梯形、圆的____________、___________、__________、_______所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台、球。
6、柱锥台球的面积和体积公式：
名称
图形
侧面积
表面积
体积
圆柱

圆锥

圆台

球

（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=____________

（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=_______________
（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=___________________;
注：(1)对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。
(2)祖暅原理： ______________________________________________________________________。
7、球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的______，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的________。
8、在球面上，两点之间的最短距离是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长就叫做两点的_____________。
【基础知识自测】
1、以下说法中正确的是（ ）
A、有两个面平行，其余各面为平行四边形的多面体是棱柱
B、任意一个直棱柱去掉两个底面，沿一条侧棱剪开，然后放到一个平面上展开，它是一个矩形；
C、长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体；
D、正四棱柱是正方体。
2、如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积比为（ ）
A、1：1：1 B、1：1：2 C、1：2：4 D、1：4：4
3、一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为 ( )
A． B． C. D．
4、(2010全国2理11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（ ）
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个

5、（2010上海春高13）在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm、最长80cm，则斜截圆柱侧面面积S= ___________cm2.

6、（2010上海春高10)各棱长都为1的正四棱锥的体积 。
【典型例题】
一、 空间几何体的结构特征
例1、 下面是关于四棱柱的四个命题，其中真命题的编号是________。
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
② 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
跟踪训练：（2010福建理6）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（ ）
A. ∥ B.四边形是矩形
C. 是棱柱 D. 是棱台
二、关于柱、锥、台体基本元素的计算
例2、设正四棱锥的底面边长为，高为，求棱锥的侧棱长和斜高。

跟踪训练：
底半径为1,高为的圆锥，其内接圆柱的底半径为R，当内接圆柱的体积最大时，R＝________.
例3、正三棱台两底面边长分别为3cm和6cm，高是cm。
（1） 求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积与表面积。

跟踪训练：
(2010全国卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、几何体的体积
例4、如图，已知在多面体中，两两垂直，平面,平面,,,求该多面体的体积。
F
E
C
D
A
B
G

跟踪练习：已知是棱长为的正方体，E、F分别为棱与的中点，求四棱锥的体积。

四、球 的概念与性质
例4、设地球半径为R，在北纬圈上有A、B两地，它们的纬度圈上的弧长等于。求A、B两地间的球面距离。

跟踪训练：（2010四川理11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别
与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是
（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（C） （D）
第三十二讲《柱锥台球》课后定时达标训练
命题人：谷海丽 审核人：董茂庆 使用时间：2010.12.17
一、选择题
1、一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（ ）
A AB∥CD B AB∥EF C CD∥GH D AB∥GH
2、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
3、一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
4、（ 2010全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
5、（2010北京理8）如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
　　　（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
　　　（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
（D）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
6、(2010全国2理9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
（A）1 （B） （C）2 （D）3

7、（2010辽宁理12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
(A)（0,） (B)（1,）
(C) (,） (D) （0,）
二、填空题
8、已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.

9、(2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．

10、有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为_______________。

11、 (2010全国2卷理16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．

12、（2010上海理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 ________ 。

13、（08江西）如图，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是 ____ ．(写出所有真命题的代号) ．

三、解答题
13、（2010山东理19）如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．

14、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。

15、（2010年高考山东卷文科20）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，
平面，，、、分别为、、的中点，且.
（I）求证：平面平面；
（II）求三棱锥与四棱锥的体积
之比.

第三十二讲 《柱锥台球》当堂检测
命题人：谷海丽 审核人：董茂庆 使用时间：2010.12.17
1. 以下命题中真命题的个数是（ ）
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点。
A、0 B、1 C、2 D、3
2、三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面与相对棱间距离为d，则三棱柱的体积等于（ ）
B1
P
B
A1
A
C
C1
A、 B、 C、 D、
3、如图，在直三棱柱中，底面ABC为直三角形，，AC=6，，P是上一动点，则的最小值为______________.

4、底面半径为1,高为的圆锥，其内接圆柱的底面半径为R，当R为何值时，内接圆柱的体积最大？

5、选作题（2010上海文数）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;

(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

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