正态总体参数的区间估计.doc

第19讲 正态总体参数的区间估计
教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。
教学重点：置信区间的确定。
教学难点：对置信区间的理解。
教学时数： 2学时。
教学过程：
第六章 参数估计
§6.3正态总体参数的区间估计
1. 区间估计的概念
我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。因此，对于未知参数，除了求出它的点估计外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。
设为未知参数的估计量，其误差小于某个正数的概率为，即
或

这表明，随机区间包含参数真值的概率（可信程度）为，则这个区间就称为置信区间，称为置信水平。
定义 设总体的分布中含有一个未知参数。若对于给定的概率，存在两个统计量与，使得

则随机区间称为参数的置信水平为的置信区间，称为置信下限，称为置信上限，称为置信水平。
注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为），每一组样本值确定一个区间，每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含的真值。按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含真值的约占，不包含真值的约仅占。例如：若，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含真值的约为10个。
（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。对于置信水平为的置信区间，一方面置信水平越大，估计的可靠性越高；另一方面区间的长度越小，估计的精确性越好。但这两方面通常是矛盾的，提高可靠性通常会使精确性下降（区间长度变大），而提高精确性通常会使可靠性下降（变小），所以要找两方面的平衡点。
在学习区间估计方法之前，我们先介绍标准正态分布的分位点概念。
设，若满足条件，则称点为标准正态分布的分位点。例如求。按照分位点定义，我们有，则，即。查表可得. 又由图形的对称性知。下面列出了几个常用的值：

0.001
0.005
0.01
0.025
0.05
0.10

3.090
2.576
2.327
1.960
1.645
1.282

2. 正态总体均值的区间估计
设已给定置信水平为，总体，为一个样本，分别是样本均值和样本方差。
（1）已知时，的置信区间
我们知道是的无偏估计，且有统计量 。由标准正态分布的上分位点的定义，有

即

这样，我们就得到了的一个置信水平为的置信区间

这样的置信区间常写成

例1 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：
14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8
若滚珠直径服从正态分布，并且已知（mm），求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。
解 计算样本均值，置信水平=0.95，，查表得（可利用查表）。由此得的置信水平为95%的置信区间为

即

注：置信水平为的置信区间并不是唯一的。以例1来说，给定，则又有

故

也是的置信水平为95%的置信区间，其区间长度为。而在对称区间上，区间长度为, 比非对称区间长度要短，较优。易知，像分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况，当固定时，以对称区间其长度为最短，我们选用对称区间。
（2）未知时，的置信区间
此时不能使用，因为其中包含了未知参数。考虑到是的无偏估计，将上述区间中的换成。我们已知统计量，可得

即

于是得到的一个置信水平为的置信区间

例2 在例1中，若未知，求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。
解 计算样本均值，样本标准差；置信水平=0.95，，自由度，查表得。 由此得的置信水平为95%的置信区间为

即
(14.92-0.138，14.92+0.138)=(14.782，15.058)
注 比较例1和例2中的置信区间，可以发现当未知时，的置信区间区间长度要比已知时的置信区间区间长度大，这表明当未知条件增多时，估计的精确程度变差，这也符合我们的直观感觉。
3. 正态总体方差的区间估计
（1）已知时，的置信区间
已知 但是分布的概率密度图形不是对称的，对于已给的置信水平，要想找到最短的置信区间是困难的。因此，习惯上仍然取对称的分位点和可得

即

于是得到方差的一个置信水平为的置信区间

例3 在例1中，若已知（mm），求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间。
解 已知，置信水平=0.95，，自由度，查表得，。
则方差的置信水平为95%的置信区间为

即

（2）未知时，的置信区间
的无偏估计为，且统计量。选取分位点和可得
即

于是得到方差的一个置信水平为的置信区间

由此，我们还可以得到标准差的一个置信水平为的置信区间

注 在实际问题中，对做估计的时候，一般均是未知的情况。因此，我们重点掌握未知条件下求的置信区间问题。
例4 在例1中，若未知，求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间。
解 未知，计算样本方差，置信水平=0.95，，自由度，查表可得，。
则方差的置信水平为95%的置信区间为

即
(0.0177，0.1243)

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