高考数学新题型选编.doc

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高考数学新题型选编
1、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么二进制数转换成十进制形式是（ ）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … ……
（A） （B） （C） （D
2、如图,在杨辉三角中,斜线的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,……，记其前项和为,则等于 ( )
A．129 B．172 C．228 D．283

3、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 ( )
A. B. C. D.
4、设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－12)+ f(－11)+ f(－10)+…+ f(0)+…+ f(11)+ f(12)+ f(13)的值为（ ）
A． B．13 C． D．
5、定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形
（1）
（2）
（3）
（4）

那么下列图形中
（1）
（2）
（3）
（4）

可以表示A*D，A*C的分别是 ( )
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4）
6、新区新建有5个住宅小区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表：
地
名
距
离
(km)
地
名

A
B
C
D
E
A

5
7
8
5
B

3
5
2
C

5
4
D

4
E

请问最短的管线长为 （ ）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 17
7、水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示。某天O点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示。（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：
①O点到3点只进水不出水； ②3点到4点，不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水 则一定正确的论断是（ ）
A．① B．③ C．②③ D．①②③
8、在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。
9、已知数列{an}，(n∈N*)是首项为a1，公比为q的等比数列，则 a1C—a2C+a3C=______， a1C—a2C+a3C—a4C=__________
由上述结果归纳概括出关于正整数n的一个结论是_____________

10、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________ .
11、定义集合A和B的运算：. 试写出含有集合运算符号“”、“”、“”，并对任意集合A和B都成立的一个等式：_______________.
12、现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是

13、某纺织厂的一个车间有n（n>7，n∈N）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1，2，3，……，n．现定义记号如下：如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定=1，否则=0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则 __；若，说明：____ .
14、不等式的解集是 。其中
15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是
16、一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）：
●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2002个圆中，有 个空心圆．
17、在平面几何中ΔABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比 把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图）DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到类比的结论是 .

18、有一列数a1=1，以后各项a2,a3,a4…法则如下：
如果an-2为自然数且前面未写出过，则写an+1=an-2，否则就写an+1=an+3,由此推算a6的值应是 .
19、为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2001年至2003年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒 万个．
各家公司的
平均使用量
饭盒（万个）
年份
年份
快餐公司（家）
2001
30
2002
45
2003
90

20、若在所给的条件下，数列{an}的每一项的值都能唯一确定，则称该数列是“确定的”，在下列条件下，有哪些数列是“确定的”？请把对应的序号填在横线上　　　。
①{an}是等差数列，S1=a，S2=b（这里的Sn是｛an｝的前n项的和，a,b为实数，下同）；②{an}是等差数列，S1=a，S10=b； ③{an}是等比数列，S1=a，S2=b；④{an}是等比数列，S1=a，S3=b；⑤{an}满足a2n+2=a2n+a，a2n+1=a2n-1+b, (n∈N*), a1=c
21、这是一个计算机程序的操作说明：
（1）初始值为；
（2）（将当前的值赋予新的）；
（3）（将当前的值赋予新的）；
（4）（将当前的值赋予新的）；
（5）（将当前的值赋予新的）；
（6）如果，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；
（7）打印；
（8）程序终止．
由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ．
22、在等式“1= + ”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是 .
23、过双曲线的右焦点的直线交双曲线于M、N两点，交轴于点，则有的定值为类比双曲线这一结论，在椭圆中，是定值 .

24、假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

25、一种计算装置，有一数据人口A和一个运算出口B，执行某种运算程序；
（1）当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为；
（2）当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一结果倍.
当从A口输入3时，从B口得到 ；要想从B口得到，则应从A口输入自数 .
26、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（Private Key Cryptosystem），其加密、解密原理如下图：
发送
加密密钥密码
解密密钥密码

明文 密文 密文 明文
现在加密密钥为y=，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”，问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为 ．
27、已知函数。
（I）证明函数的图象关于点成中心对称图形；

（II）当x∈[a+1, a+2]时，求证：f (x)∈[―2, ―]；
（III）利用函数构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令，…在上述构造数列的过程中，如果在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止。如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值。
28、（满分18分）
已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合
，集合。
（1）求和；
（2）定义与的差集：且。
（3）设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列{}、{}的通项公式（不必证明）；
29、（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

30、设x1、x2ÎR,常数m＞0,定义运算“*”：x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2.
(1) 若x≥0,y=,求动点P(x,y)的轨迹C的方程并说明轨迹C的形状；(5分)
(2) 设A(x,y)是坐标平面上任一点,定义d1(A)=,
d2(A)=,计算d1(A)、d2(A),并说明d1(A)和d2(A)的
几何意义；(6分)
(3) (理)在(1)中的轨迹C上，是否存在不同两点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)，使之满足d1(Ai)=·d2(Ai)(i=1,2)，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.(7分)

31、(本题满分14分) 设直线2x-y+1=0与椭圆相交于A、B两点。
(1) 线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
(2) 已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB×kOM为定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。

32、有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为（注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上）。过作交EF于T点，求T点的轨迹方程。

33、以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

新 题 型 选 编 参 考 答 案：
1、C 2、D 3、D 4、D 5、C 6、B 7A 8、y=kx+b(k≠0)
9、 a1(1—q)2、a1(1—q)3 a1C—a2C+a3C—a4C+……+(—1)n an+1C=a1(1—q)n
10、3 、 当n为偶数时，；当n为奇数时，
11、；；；…12、 13、a17+a27+a37+……+an7这个式子是说编号为1，2，3，……，n的人中有多少人操作第7号织布机，所以等式为1； a31+a32+a33+……+a3n=2,说明编号为3的工人操作了2台织布机。
14、（）∪（0，+∞） 15、-11 16、445 17、
18、6 19、85 20、①②③ 21、 22、4和12
23、 24、785,567,199,507,175 25、 26、14
27、解：（I）设点P（x0，y0）是函数，y=f（x）图象上一点，则
点P（x0，y0）关于（a，－1）的对称点为……2分

∵
∴
即P′点在函数y=f（x）的图象上
所以函数y=f（x）的图象关于点成中心对称图形 　　　 …………5分
（II）

∴
∵
∴ …………10分
（也可以用导数的方法证明单调性，再求范围）
（III）根据题意，应满足无解, …………12分
即
的解
所以对于任意无解。
故 …………14分

28、解：（1）∵有最大值，∴。配方得，由。
∴，。
（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则。
③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。。
（3）（理），得。，
∵，当且仅当时等号成立。∴在上单调递增。。
又，故没有最小值。

29、[解]（1）设椭圆的标准方程为，，
∴ ，即椭圆的方程为，
∵ 点（）在椭圆上，∴ ，
解得 或（舍），
由此得，即椭圆的标准方程为. …… 5分
（2）设直线的方程为， …… 6分
与椭圆的交点()、()，则有，
解得 ，
∵ ，∴ ，即 .
则 ，
∴ 中点的坐标为. …… 11分
∴ 线段的中点在过原点的直线 上. …… 13分
（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心. …… 18分

30、解：(1)∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2=4x1x2,
∴y= ……2分
Þ轨迹C的方程为y2=4mx(y≥0),
故轨迹C是抛物线y2=4mx位于x轴及x轴上方的一部分. ……5分
(2)d1(A)=,
d2(A)=， ……9分
∴d1(A)、d2(A)分别点A到原点、点A到直线x=m的距离. ……11分
(3)(理)假设存在两点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)（x1、x2≥0,x1¹x2)，由题意d1(Ai)=·d2(Ai) (i=1,2)Þ(i=1,2)，又，
∴(i=1,2)， ……13分
∴x1、x2是方程即 的两个非负的相异实根，其充要条件是：
óóm＞1 ……17分
故当m＞1时，存在；当0＜m≤1时，不存在. ……18分

31、解：(1) 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则
Þ Þ (2分)
所以 (4分)
|AB|= (7分)
(2) 设A、B是双曲线上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB×kOM为定值。 (10分)
证明略。定值为 (14分)
32、解：以边AB的中点O为原点，AB边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则B（）， 2分
因为，根据抛物线的定义，T点的轨迹是以点B为焦点、AD为准线的抛物线的一部分。 6分
设，即定点B到定直线AD的距离为4，
抛物线方程为。 9分
在折叠中，线段长度在区间内变化，而， ，
故T点的轨迹方程为 12分
另解：以BC所在直线为轴，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系，则A（0，4），B（0，0）设T点坐标为，，则，
从而的坐标为，
直线的方程为， ①
又EF是的垂直平分线，直线斜率，
线段的中点为， 6分
于是直线EF的方程为， ②
联立①、②消去得：， 9分
，
故T点的轨迹方程为。 12分

33、解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）
则AB∶y＝－x＋1
把BC方程代入椭圆，
是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0
∴|BC|＝，同理|AB|＝
由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0
（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0
∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0
当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4
由Δ＜0，得1＜a＜
由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1
故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解
由Δ＞0即a＞时有三解

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