证明(三)经典讲义.doc

证明（三）
直角三角形
钝角三角形
三条边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形（正三角形）
主要知识点：
一、三角形

按角分

三角形

按边分

二、四边形
1. 知识结构如下图
（1）弄清定义及四边形之间关系图1：
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
梯形

只有一组对边平行
一个角是直角
一组邻边相等

两腰相等
有一个角是直角
等腰梯形
直角梯形
一个角是直角
一组邻边相等

（2四边形之间关系图2：

平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
等腰梯形
直角梯形
梯形
四边形

2、几种特殊的四边形的性质和判定：
特殊四边形
性 质
判 定
边
角
对角线
边
角
对角线

平行四边形
对边平行且相等
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

矩形

对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、三个角是直角的四边形是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形

菱形
四边相等
对角相等
邻角互补
对角线互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形
四边相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、有一组邻边相等的矩形是正方形。

3、有一个角是直角的菱形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
5、对角线互相垂直的矩形是正方形。

等腰梯形
两底平行
两腰相等
同一底上的两个底角相等
对角线相等
1、两腰相等的梯形是等腰梯形。

2、在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
3、对角线相等的梯形是等腰梯形

3、一些定理和推论：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
推论：夹在两平行线间的平行线段相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、一些思想方法：
⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。
⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。
⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。
⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。
⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。
⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。

5、注意：
⑴四边形中基本图形

⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)

⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。

典型例题分析
例1. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1) 求证：△ADE≌△CBF； (2) 若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

例题2.已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，求证：AP=EF.

例题3.如图：已知在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,点E是BO的中点，DGCE于点G，
E
F
O
D
A
C

B
G
交OC于点F. 如果正方形ABCD边长为10㎝.求EF的长.

例4.如图，菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF的度数．

A
B
C
D
E

O
例5. 如图所示，在 中，对角线、交于点，平分的外角，且；求证：

A
B
C
E
P
G
D
例6.如图所示,为的边的垂直平分线上一点,且的延长线分别交、于点、,；求证：

A
B
C
D
E
F
G
例7. 如图所示，在正方形中，点在上，点在上，，于点；求证：

例8.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC， ∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB>AD）
BD=10， BD =DC，E、F分别是BC、CD上的点，且CECF = 4.
(1) 求BC的长；
(2) 设EC的长为x，四边形AEFD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD的面积等于40，试求EC的长 .
A
F
E
B
D
C

训练题一：
一、 填空题
1．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC是 度.

A
B
C
D
P
O
E
F
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
E
D
第2题图
第1题图
第3题图
第5题图

2．如图，P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点，且PE⊥DB，垂足为E，PF⊥CA，垂足为F，则PE+PF的长是 .
3．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，对角线AC⊥BD于O，DC=3，AB=8cm，则梯形的高= cm .
第5题图
4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线的长等于___________ cm .
5．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，
那么阴影部分的面积为________

6．等腰三角形的两边长为6㎝、8㎝, 则这个等腰三角形的周长为__________㎝.
7．梯形上、下底的比是a : b（a＝DE，则图中的全等三角形最多有（ ）
A. 2对 B. 3对 C. 5对 D. 6对
2. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，
AB＝8，则CD的长为 （ ）
A. B.
C. D.
3. 直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD中点，且AB=AD+BC，则△ABE是 （ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．若AE过BC的中点，则□ABCD的面积等于 （ ）
A. 48 B. C. D.
5．下列各组长度的线段中，可以组成三角形的是（ ）
C
A．6 , 2 , 7 B．6 , 2 , 8 C．5 , 6 , 7 D．6 , 2 , 10
B
A
E
C
6.如图，把直角三角形纸片，沿过顶点B的直线BE折叠，直角顶点C落在AB上。如果EBA是等腰三角形，那么下列结论正确的是………………（ ）
A． B.点C与AB中点重合
C. 点E到AB的距离等于CE的长 D.AB=AE
7.下列命题中，正确的是（ ）
A.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
B.等腰三角形的角平分线与高及中线互相重合
C.两个成轴对称的图形一定全等
D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
M
8.如图，点C是内一点，且CA=CB.下面说法正确的是……………（ ）
O
A
C
B
N
A.点C在的角平分线上
B.点C在线段AB的垂直平分线上
C.OC是AB的垂直平分线
D.OC是MON的角平分线

9.如图：已知在中,AB=AC,,直角的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）,下列结论始终正确的是（ ）
A
F
E
P
B
C
A.AE=CF B.是等腰三角形
C.S= D.EF=AP

三、证明题
1．如图：在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7㎝,C
E
B
F
A
H
D
对角线ACBD,=30,求梯形的高AH.

2．如图：已知在平行四边形ABCD中,于点E,BE:EC=1:3,点F、G、H分别是AB、AE、CD的中点,EF=5,GH=21 求（1）AD的长 （2）梯形AECD的面积
D
A
E
F
B
C
G
H

3. 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点M为CD上一动点（与点C不重合），将矩
形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.
（1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形）；
（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）是否存在点M的位置使∠BEM=900，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
A
B
C
D
E
F
M

训练题二
1如图1，已知BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是________(填上一个即可)。
2.如图2：四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，点E在正方形外部，那么AED=_______度。
3如图3：在RtABC中，=90，BD平分ABC交AC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1㎝，则AC=_______㎝.
A
D
C
B
F
E
D
C
B
E
A
F
E
B
D
A
C
E
A
D
B
C
4.如图4：在ABC中，有一正方形DECF，如果AD=29㎝，DB=19㎝，那么S+S=_______㎝.

(图1) (图2) (图3) (图4)

5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形
6. 已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线是 （ ）
A. B. C. 3 D. 6
F
E
O
A
B
C
D
5 已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，且OE=OF. 求证：AE⊥BF.

6．如图：已知正方形ABCD的边长为5，E是BC上一点，BE : EC=2 : 3,M、N分别在CD、AB上，以M、N为折痕，使点A与AC上的点E重合.求（1）BN的长（2）S
C
E
M
B
A
D
N

单元评估试卷
1．下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是 （ ）。
A．一组邻角互补，一组对角相等。 B．一组对边平行，一组邻角相等。
C．一组对边相等，一组对角相等。 D．一组对边相等，一组邻角相等。
2．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是 （ ）。
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形

3．下列说法错误的是 （ ）。
A．有一组对边平行但不相等的四边形是梯形。B．有一个角是直角的梯形是直角梯形。
C．等腰梯形的两底角相等。 D．直角梯形的两条对角线不相等。
4．如图1把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置。
若∠EFB =65°，则∠AED′等于 （ ）。
Ａ．50° Ｂ．55° Ｃ．60° Ｄ．65°
5． ABCD中，O是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是 （ ）。
A．∠BAD=90°，AB=AD B．∠BAD=90°，AC⊥BD
C．AC⊥BD，AC=BD D．AB=AC，∠BAD=∠BCD
6.如图2，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为 （ ）
A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6
7.给出下列命题:①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

如图2 如图3

8、平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（ ）
A 2 对 B 3对 C 4对 D 5 对

9、 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ）
A .内角和是360°； B. 对角相等； C. 对边平行且相等； D. 对角线互相垂直.
10、如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为 （ ）
A. B. C.2 D.
二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）
11．在ABCD中，已知∠ABC=60°，则∠BCD=____________。
12.任意四边形的四边中点依次相连构成的四边形是__________
矩形四边中点依次相连构成的四边形是_____________________
菱形四边中点依次相连构成的四边形_______________________
对角线互相垂直的四边形四边中点依次相连构成的四边形________________-
13．已知△ABC中，AB=12㎝，BC=10㎝，AC=8㎝，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则△DEF的周长为___________cm。
14．菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为6㎝和10㎝，则菱形的面积是______㎝2。
B
A
C
D
图4
15．如图2，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=_________
。

16．已知正方形ABCD的对角线长为9㎝,则正方形ABCD的面积为_________㎝2。
17．菱形ABCD中，若周长是20㎝，对角线AC=6㎝，则对角线BD=__________㎝。
18．如图3，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，则下面的结论：①AO=CO；②AB∥CD；③AC⊥BD；④AB⊥BC。其中正确的结论有：________。
19、如图4，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件__________________，就可以判定它是一个菱形
三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
20、求以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长。

21、矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，求△BEF的面积。

22、矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm，求（1）AB，（2）BC的长？

23、若等腰梯形两底的差等于一腰的长，求最小的内角是。

24、如图8，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长？

四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分）
25、如图9，点D是△ABC中 BC边上的中点，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为E、F，且BE=CF。 （1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AEDF是怎样的四边形，证明你的结论。

26、如图10，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H。
（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE。
（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由。

综合题
1.如图四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F.
(1) 在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
(2) 求证：AE=FC+EF.

2. 如图在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.
求证：PM = QM

3.如图在梯形中，，过对角线的中点作，分别交边于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2），若，OF：AO=2：5求四边形的面积

4.如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x．
(1) 当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
(2) 当x取何值时，四边形EACD的面积等于2 ？

5.如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE。(不需要证明)
(1)如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
(3)如图④，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程。

6.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝900，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以每秒1厘米的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒3厘米的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随机停止运动。设运动的时间为t秒。
（1） 当t等于多少时，四边形PQCD为平行四边形？

（2） 当t等于多少时，四边形PQCD变为等腰梯形？

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