【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时-第八章-第一节-椭圆精练-理(全国版).doc

【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第八章 第一节 椭圆精练 理（全国版）
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．以上都不对
【解析】　设椭圆的方程为
Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
则，
解得A＝1，B＝，故选A.
【答案】　A
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　由题意知，2a＝2·2b，
∴＝，＝，
∴＝，∴e＝＝.
【答案】　D
3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF1|－|BF2|等于(　　)
A．3 B．8
C．13 D．16
【解析】　由椭圆方程得a＝4，
∴|AF1|＋|AF2|＝8，∴|AF1|＝8－|AF2|.
∴|AF1|－|BF2|＝8－|AF2|－|BF2|
＝8－|AB|＝8－5＝3.
【答案】　A
4．(2010年石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
【解析】　由题意直线m的方程为y＝k1(x＋2)，
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
由得
(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，
∴x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝，
∴P(－，)，
∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
【答案】　D

5．(2010年郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B．1－
C.－1 D.
【解析】　由已知得a2＋(a2＋b2)＝(a＋c)2，
即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，
∵1＞e＞0，∴e＝.
【答案】　A
6．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
令x＝－c得y2＝，∴|PF1|＝，
∴＝＝，
又由|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|得
a2＝2bc，∴a4＝4b2(a2－b2)．
∴(a2－2b2)2＝0.∴a2＝2b2.∴＝.
【答案】　B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且a－c＝，则椭圆的标准方程是________．
【解析】　由已知得a＝2c，
又a－c＝，∴c＝，a＝2，b2＝a2－c2＝9.
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
【答案】　＋＝1
8．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e＝________.
【解析】　如图，设其中一个切点为P，连接OP，则OP⊥AD.
在Rt△AOD中，
OP=，
∴c=，∴c2=，
∴c2=，∴c4-3a2c2+a4=0，
∴e4-3e2+1=0，∴e2=.
∵0＜e＜1，∴e2=
∴e====.
【答案】
9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)
【解析】　由已知得＝，∴a＝2c，
∴b2＝a2－c2＝3c2，∴b＝c，
∴方程即为2cx2＋cx－c＝0，
2x2＋x－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＜2.
∴点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．
【答案】　在圆内
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．(2010年上海春招)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
【解析】　设探测器运行轨道方程为
＋＝1(a＞b＞0)，c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35 028，
∴探测器运行轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，
则x＋y＝ab≈81 975.1，＋＝1，
解得x0≈239.7，y0≈156.7(符合题意)，
∴探测器在变轨时与火星表面的距离为
－R≈187.3.
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．
11．(2010年安徽模拟)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
【解析】　(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由，得x＝±1.
所以|AB|＝|x1－x2|＝2.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以h＝，S△ABC＝|AB|·h＝2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m，
由，得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64＞0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|＝.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.
所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2
＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.
所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12＋64＞0)，
此时AB所在直线的方程为y＝x－1.
12．设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，并且||＝，动点P满足＝＋，记动点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)若点D的坐标为(0,16)，M、N是曲线C上的两个动点，且＝λ，求实数λ的取值范围．
【解析】　(1)设P(x，y)，∵A，B分别为直线y＝x和y＝－x上的点，故可设A，B
∵＝＋，
∴　∴
又||＝，
∴(x1－x2)2＋(x1＋x2)2＝20，∴y2＋x2＝20，
即曲线C的方程为＋＝1.
(2)设N(s，t)，M(x，y)，则由＝λ，可得
(x，y－16)＝λ(s，t－16)，故x＝λs，y＝16＋λ(t－16)．
∵M、N在曲线C上，
∴，
消去s得＋＝1.
由题意知λ≠0且λ≠1，解得t＝.
又|t|≤4，∴||≤4.解得≤λ≤(λ≠1)．
故实数λ的取值范围是≤λ≤(λ≠1)．

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