温室辣椒重防的病虫害.doc

求数列通项问题的思维流程研究
山东博兴县第二中学 （256500） 卢振路

求数列的通项是高中数学中数列部分的最基本问题之一，对它的研究涉及到的知识点多，综合性强，是学生学习的一个难点。本文试图在详细剖析各类求数列的通项问题的基础上，从学生解题的思维流程角度，找出各类问题之间的内在联系，总结出解决这类问题的一般的思维模式.
求数列的通项问题的基本类型及其解题规律如下：
一、已知数列{ }的递推关系式，求通项
【例1】已知数列{ }满足=8 , =2 , 且 -2+ =0 (n∈N+)，求通项.
解：∵n∈N+ ，-2+ =0，
∴-=- ,
∴-=-=-=…=-，
∴数列{}是等差数列.故可设其通项公式为=-(n-1)d ( n∈N+),由=+(4-1)d可得,d= -2,
∴ =-2 n+10( n∈N+).
本题给出的递推公式稍加变形后,正好符合等差数列的定义,所以可根据给定的条件由待定系数法直接求得.
【例2】已知：各项均为正数的数列{an}满足=1, (n+1) + -n=0（n∈N+),求其通项.
解法一：∵(n+1)+-n=0，
∴ (n+1) +-n=0 ，
∴ =-1（舍去），或 = ，
由 = （n ∈N+)可得,
= = · = · · ·
=…= · · ·…· ·= ,
即 = .
解法二：同解法一 得到 = （n ∈N+)， 即(n+1) -n=0（n ∈N+),故{n}是公差为0的等差数列，所以n=1·=1，即= （n ∈N+).
解法三：同解法一 得到 = （n ∈N+)，由 =1可得，= ，= ，= ，故可猜想= （n ∈N+)，再由数学归纳法证明（略）.
本题在无法直接使用基本数列（指等差数列和等比数列，下同）定义的情况下，可连续使用递推公式（以下称这种方法为“迭代法”）而得到数列的通项.如果考虑不到这一点或者无法实施这种迭代,可考虑引进辅助数列{},使得 =f()（n ∈N+),如果{}的满足基本数列的定义或者可使用迭代而能求出其通项,也就得到了{}的通项.如果引进辅助数列的方法仍旧无法奏效,还有最后一招，即采用归纳猜想证明的方法,之所以把它作为最后一招,因为毕竟它是以上各种方法中最繁琐的一种,而我们的学生却往往把它作为首要的方法,这种思维顺序上的颠倒应予纠正.
二、已知数列{}的前n项和求通项
【例3】已知数列{}的前项和=+3,n∈N+,求通项an.
解：当n=1时，==2+3=5 ；
当n≥2，n∈N+时, =- =+3--3=，
故an= .
已知数列{}的前n项和求通项问题可直接利用 与的关系式 = (以下简称该关系式为“基本关系”）求得 ，但需要特别注意的是,使用这个关系式必须对n=1时的情形单独讨论 ，特别是不适和当n≥2时的表达式时，忽略这一点就会致错.
【例4】数列{}对于n∈N+,r为常数, 都满足+++…+= 9-6n,求通项.
解：∵+++…+= 9-6n（n∈N+）即为数列{}的前n项和,
∴当n=1时，==9-6=3 ,
当n≥2，n∈N+时，=-=9-6n-9+6(n-1) =--6,
∴ = .
本题表明在未知数列{}的前n项和的情况下,和第一类问题类似的是,如果知道了{的辅助数列{}的前n项和,则可通过求出{}的通项而得到{}的通项.
三、已知数列{}的前n项和与通项的关系式求通项
【例5】已知是数列{}的前n项和，且=5-3（n∈N+），求数列{}的通项.
解：∵ n∈N+都有=5-3,
∴n≥2时 , -=5（-）=5 ,
∴ 4=－即 = -（n≥2）,
又∵当n=1时，由 =5－3 可得 = ，
∴{}是一个首项为 ，公比为 - 的等比数列，故= .
本例表明已知数列{}的前n项和与通项的关系式求通项问题,在多数情况下可直接利用基本关系= 消去与有关项 后可得到{}的递推公式,从而转化为第一类问题而解决.因此解决此类问题的首要步骤是力求获得{}的递推公式.
【例6】 已知各项均为正数的数列{}的前n项和为，且=( + ) ,（n∈N+） , 求此数列的通项.
解：∵n≥2时 =-,
∴=( + )可化为= (-+ ),化简得
= 1 ,
又∵当n=1时，由 = = ( + ) 可得 ， =1,
∴ { }是一个首项为1，公差为 1的等差数列,
∴ =1+n-1=n，从而= ,
∴ n≥2时 =-= - ，
又 ∵ 当n=1时，a =1也适合上式,
∴= -（n∈N+）.
本题在探索思路时也试图象例5那样获得{} 的一个递推公式,但事实表明,这种努力是徒劳的,也就是说通向转化为第一类问题的道路被堵塞了.此时,考虑到求出转化为第二类问也可求出通项,就果断地利用基本关系消去,先得到{}的递推公式,根据第一类问题的解法求出 ,再根据第二类问题的解法求出.当然作为一种几乎是万能的解法,如果以上的思路无法奏效,我们还可以利用归纳猜想证明的方法来解决,但是考虑到它的繁琐,我们把它作为最后的出路.
根据以上的分析,我们可以的出如下结论:
1.对于每一类数学问题,仅仅知道它有几种解法是不够的,更重要的是我们应该弄清每种解法的使用条件及其相互关系,建立正确合理的思维顺序.
2.对于求数列的通项这类问题,我们已经看到第三类问题的解决涵盖了前两类问题,前两类问题解决过程只是第三类问题的解决过程的一部分.因此,掌握了第三类问题,也就掌握了整个求数列的通项问题的解法.
基于以上认识,我们把第三类问题的解题思维过程用流程图的形式在下面给出,作为本文的结束语:

求数列通项问题的思维流程图
已知的与关系式求通项
已知{}的递推公式,求通项

归纳—猜想—证明
已知求通项

求出通项

是
是
否
否
否
否
否
是
是
是
是否可利用基本关系得到{}的 递推公式

是否符合
基本数列的定义?

是否
可使用迭代法?

是否可引进基本数列{},使得=f() ?
是否可利用基本关系得到{}的递 推公 式

- 6 -