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第一部分 专题二 第4课时
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．(2013·荆州质量检查)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，·＝，求△ABC的面积．
解析： (1)f(x)＝2sin xcos x＋(2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)在锐角△ABC中，有f(A)＝2sin＝1，
∵0＜A＜，＜2A＋＜，
∴2A＋＝，∴A＝.
又·＝||·||c
2、os A＝，
∴||·||＝2.
∴△ABC的面积S＝||·||sin A＝×2×＝.
2．(2013·江西上饶)已知函数f(x)＝2sin(2ωx＋φ)(ω＞0，φ∈(0，π))的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若f(ax)(a＞0)在上是单调递减函数，求a的最大值．
解析： (1)由题意得f(x)的最小正周期为π，
∴T＝π＝，得ω＝1.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又点是它的一个对称中心，
∴sin＝0，得φ＝，
∴f(x)＝2sin＝2cos 2x.
(2)由(1)得f(ax)＝2cos 2ax
3、
∵2ax∈，
∴欲满足条件，必须≤π，
∴a≤，即a的最大值为.
3．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0＜α＜x＜π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．
解析： (1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin x
4、cos x＋(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，
则2sin xcos x＝t2－1，且－1＜t＜.
则y＝t2＋t－1＝2－，－1＜t＜，
∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，
即sin＝－，
∵＜x＜π，∴＜x＋＜π，
∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.
∵a⊥c，
∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2co
5、s α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0，
∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.
4．已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω＞0)的两个相邻的零点．
(1)求f的值；
(2)若对∀x∈，都有|f(x)－m|≤1，求实数m的取值范围．
解析： (1)f(x)＝－
＝
＝
＝
＝
＝sin.
由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，
又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f(x)＝sin.
∴f＝sin＝sin＝.
(2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m≤f(x)＋1，
∵对∀x∈，都有|f(x)－m|≤1，
∴m≥f(x)max－1且m≤f(x)min＋1，
∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，
∴－1≤sin≤，
∴－≤sin≤，
即f(x)max＝，f(x)min＝－，
∴－≤m≤1－.
故m的取值范围为.
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