【全程复习方略】(福建专用)2013版高中数学-2.11变化率与导数、导数的计算训练-理-新人教A版-.doc

【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 2.11变化率与导数、导数的计算训练 理 新人教A版 (45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.曲线y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( )(A)y=2x+1 (B)y=2x-1(C)y=-2x-3 (D)y=-2x-22.(2012宿州模拟)若f(x)=2xf(1)+x2，则f(0)等于( )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-43.y=sinx+tcosx在x=0处的切线方程为y=x+1，则t等于( )(A)1 (B)2 (C)-1 (D)04.（预测题）已知函数f(x)=xlnx.若直线l过点(0,-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为( )(A)x+y-1=0 (B)x-y-1=0(C)x+y+1=0 (D)x-y+1=05.（2012厦门模拟）如图，函数y=f(x)的图象在点P（5，f(5)）处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)=（ ）(A) (B)1(C)2(D)06.（2012福州模拟)曲线y=e-x在点（x0,）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）(A) (B) (C) (D)二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012哈尔滨模拟)等比数列an中，a1=1,a2 012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2 012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为_.8.若函数f(x)=4lnx，点P(x,y)在曲线y=f(x)上运动，作PMx轴，垂足为M，则POM(O为坐标原点)的周长的最小值为_.9.函数y=f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x)，两边求导数得，于是y=f(x)g(x)g(x)lnf(x)+g(x).运用此方法可以求得y= (x0)的导数为_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知函数f(x)满足如下条件：当x(-1,1时，f(x)=ln(x+1)，且对任意xR，都有f(x+2)=2f(x)+1.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求当x(2k-1,2k+1，kN*时，函数f(x)的解析式.11.（易错题）函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离.【探究创新】(16分)已知曲线Cn：y=nx2，点Pn(xn,yn)(xn0,yn0)是曲线Cn上的点(n=1,2，).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn,yn).答案解析1.【解析】选A.因为y=，所以，在点(-1,-1)处的切线斜率k=y|x=-1=2，所以，切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1，故选A.2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f(1)为常数，先求出f(1)，再求f(0).【解析】选D.f(x)=2f(1)+2x，令x=1，得f(1)=-2，f(0)=2f(1)=-4.3.【解析】选A.y=cosx-tsinx，当x=0时，y=t，y=1，切线方程为y=x+t，比较可得t=1.4.【解析】选B.f(x)=lnx+1，x0，设切点坐标为(x0,y0)，则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1，所以lnx0+1=，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为x-y-1=0.5.【解析】选C.由题意可知f(5)=-5+8=3,f(5)=-1,f(5)+f(5)=3-1=2.6. 【解析】选D.由y=e-x得y=-e-x,又x0=1,=,切线方程为令x=0,得y=,令y=0,得x=2,7.【解析】f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a2 012)+x(x-a2)(x-a3)(x-a2 012)+x(x-a1)(x-a3)(x-a2 012)+x(x-a1)(x-a2)(x-a2 011),f(0)=(-a1)(-a2)(-a2 012)=(a1a2 012)1 006=22 012,切线方程为y=22 012x.答案：y=22 012x【变式备选】已知函数f(x)=,g(x)=alnx,aR.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.【解析】f(x)= ,g(x)= (x0),由已知得：解得a=e,x=e2.两条曲线交点的坐标为(e2,e)，切线的斜率为k=f(e2)=,所以切线的方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.8.【解析】f(x)= (x0)，P(x, )，M(x,0)，POM的周长为x+ (当且仅当x=2时取得等号).答案：9.【解析】对y=(x0)两边取对数得lny=lnx，两边求导得，.答案：y= 10.【解析】(1)x(-1,1时，f(x)=ln(x+1)，f(x)= ，所以，函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y-f(0)=f(0)(x-0)，即y=x. (2)因为f(x+2)=2f(x)+1，所以，当x(2k-1,2k+1，kN*时，x-2k(-1,1，f(x)=2f(x-2)+1=22f(x-4)+2+1=23f(x-6)+22+2+1=2kf(x-2k)+2k-1+2k-2+2+1=2kln(x-2k+1)+2k-1.11.【解析】f(x)=aex，g(x)= ，y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,a)，y=g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f(0)=g(a)，即a=.又a0，a=1.f(x)=ex，g(x)=lnx，函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0,x-y-1=0，两平行切线间的距离为.【方法技巧】求曲线的切线方程求曲线的切线方程，一般有两种情况：(1)求曲线y=f(x)在(x0,f(x0)处的切线，此时曲线斜率为f(x0)，利用点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)；(2)求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线，此时需要设出切点A(xA,yA),表示出切线方程，再把P(x0,y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.【变式备选】已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,bR,ab).(1)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程.(2)设x1,x2是f(x)=0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.【解析】(1)当a=1,b=2时，f(x)=(x-1)2(x-2),因为f(x)=(x-1)(3x-5)，故f(2)=1，f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)因为f(x)=3(x-a)(x-)，由于ab，故a.所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.不妨设x1=a，x2=，因为x3x1，x3x2，且x3是f(x)的零点，故x3=b.又因为-a=2(b-)，所以x1,x4,x2,x3成等差数列.所以x4=(a+)=，所以存在实数x4满足题意，且x4=.【探究创新】【解析】(1)y=2nx,y =2nxn,切线ln的方程为：y-n=2nxn(x-xn).即：2nxnx-y-n=0,令x=0，得y=-n,Qn(0,-n).(2)设原点到ln的距离为d，则d=,|PnQn|= .所以，当且仅当1=4n2，即=(xn0)时，等号成立，此时，xn=,所以，Pn(,).- 6 -