圆的对称性教学设计.docx

《圆的对称性》教学设计
南郑县南海中学 李 涛
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用。
二、教学任务分析
知识与技能
通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
过程与方法
通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力。
情感态度与价值观
（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣。
（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐。
（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。
教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。
三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。
数学活动一：认识圆的对称性
提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？
提问二：圆是对称图形吗？
（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证？
圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）
验证方法：折叠
（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？
同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?

现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
数学活动二：了解圆心角的定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。

数学活动三、探索圆心角定理
尝试与交流，按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下。
2．在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′ (如下图示)，圆心固定。注意：∠AOB和∠A′O′B′时，要使OB相对于0A的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合。
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合。
教师叙述步骤，同学们一起动手操作。

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由。
结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′。
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′。
3．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′。
4．由旋转法可知=。
刚才到的=理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法。我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′。这样便得到半径OB与O′B′重合。因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′。
在上述操作过程中，你会得出什么结论?
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
上面的结论，在同圆中也成立。于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提。否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论。
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图。
如下图示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′≠。
下面我们共同想一想．
在同圆或等圆中 弧相等
相等的圆心角 弦相等
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等。
（2）此定理中的“弧”一般指劣弧。
（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系。
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等。
例题： 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且，BE与CE的大小有什么关系？为什么？

（过程见课本）

（补充例题）
例．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可。
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 =
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=，CF= ∴AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=，CF= ∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD ∴=，∠AOB=∠COD
课时小结
通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳)
利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

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