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测量的基本知识→
一、 误差的基本知识→
1、 测量
　　 测量是人们定量认识客观量值的唯一手段, 是人类从事科学研究活动的基础，没有测量就没有科学。
　　我们在进行物理实验时，不仅要对实验现象进行定性的观察，还要对物理量进行定量的研究，这就需要进行针对不同物理量的测量活动。所谓测量就是以确定[被测量对象的]量值 为目的的一组操作 。
　　“被测量对象”被称为 被测量（或称为：测量量、待测物理量），由测量确定的被测量量值的估计值被称为测量结果（或称为：测量值） ，被测量的希望确定的实际（客观）量值被称为被测量的真值， 而这个“一组操作”（或称为全部操作）可以用下面这个例子来说明。
　　我们要测量一个如图 1-1-1 所示的圆柱的体积 V ，在数学上，已知

其中 d 为圆柱体的直径，h 则为高。利用长度测量工具例如卡尺、千分尺测得d 和 h 后，我们便可以算出 V 。在上述的体积测 量过程中，d 和 h是利用测量工具得到的，而体积 V 则是利用 d 、 h 和计算公式通过计算得到的，具体的操作方式虽然不同,而目的和性质却是相同的,都是测 量。
　　通过上面这个例子我们还可以看到，虽然都是测量，但物理量 d 、 h 和 V的获取方法和过程是不相同，所以通常根据待测物理量最终测量结果的获取过程把测量分为两大类，即直接测量和间接测量进而也就有了直接测量量和间接测量量的概念。不言而喻，在上例中，体积 V的测量属间接测量，则 V 这个量就是间接测量量，而 d 与 h 则是直接测量量。
2、误差的概念 
　　　任何一个待测物理量的真值都是客观存在的，测量的本意就是要尽可能地得到这个真值。但由于客观世界和测量过程本身的不完善性，从理论上讲这种不完善性永远不可能完全排除，因此测量值和真值之间必然存在差异，这种差异就是误差。即： 　　误差 = 测量值 - 真值。
　　如果用 表示 被测量 Y 的 测量误差，用 表示被测物理量的真值，用表示测量结果，则有 。
　　由于每次测量都存在误差，因而通过测量永远得不到真值。那么，什么样的测量值是最理想的或者是最接近真值的呢？如何来评价测量结果的可信程度呢？这就必要对测量误差进行研究和讨论，用误差分析的思想方法来指导实验的全过程。
误差分析的指导作用主要包含两个方面：
　　① 为了从测量中正确认识客观规律，就必须分析误差的原因和性质，正确地处理所测得的实验数据，尽量减小误差，确定误差范围，以便能在一定条件下得到接近真值的最佳结果，并作出精度评价。
　　② 在设计一项实验时，根据对测量结果的精度要求，用误差分析指导我们合理地选择测量方法、测量仪器和实验条件，以便在最有利的条件下，获得恰到好处的预期结果。
3、误差分类→
3.1系统误差 
　　　　误差的产生有多方面的原因。从误差的性质和来源上可分为随机误差和系统误差两大类。
　一、系统误差
　　　系统误差的特点是在同一条件下多次测量时，误差的绝对值与符号保持恒定，或在条件改变时，按某一确定的规律变化。比如某一块表，每天都比标准时间慢 1s ，这就是系统误差。按国家标准计量局规定，一个标称值为 50g 的三等砝码的允许误差 ( 允差 ) 是 0.002g 。当一个砝码的实际量值为 49.998g 时，它是符合三等砝码标准的，但用它进行称量时，将引入一个0.002g 的误差，这也是系统误差。
　　　按系统误差的性质，不难推断系统误差产生的原因有三种： (1) 所用仪器、仪表、量具的不完善性，这是产生系统误差的主要原因； (2) 实验方法的不完善性或这种方法所依据的理论本身具有近似性； (3) 实验者个人的不良习惯或偏向（如有的人习惯于侧坐、斜坐读数，使读得的数据偏大或偏小），以及动态测量的滞后或起落等。
　　　由于系统误差在测量条件不变时有确定的大小和正负号，因此在同一测量条件下多次测量求平均并不能减小它或消除它。
　　　一般情况下，系统误差在测量中都占较大比重。尽管完全消除系统误差是不可能的，但尽量减小系统误差却是应该的，也是可能的。为此在测量前和测量过程中，都要时刻注意检查可造成较大系统误差的原因，尽量加以消除或修正。比如，在条件许可的情况下，尽可能采用精确度比较高的测量工具或仪器；其次，实验方法，实验所依据的理论都要更合理、更科学；养成良好的测试和操作习惯，从而可使系统误差减小到最低程度。当不可忽略的系统误差无法避免时，应尽可能地找出其大小、正负或规律，并进行必要的修正。例如前述砝码所引入的误差，可通过更高级别的仪器对该砝码进行校验，引入一个校正量来减小这一系统误差。
3.2随机误差
　　消除系统误差之后，在相同条件下多次测量同一量时，误差的符号和大小没有确定的规律，时大时小，时正时负，这类误差就是随机误差（又称偶然误差）。它的最大特点是具有随机性。
　　产生随机误差的原因大体有两种：(1) 随机的和不确定的因素的影响，或环境条件微小的波动；(2) 实验操作者的感官分辨本领有限。通常，任一次测量产生的随机误差或大或小，或正或负，毫无规律。但对同一量测量次数n足够多时，将会发现它们的分布服从某种规律。实践和理论都证明，大部分测量的随机误差服从统计规律，其误差分布（或测量值的分布）呈正态分布（又称高斯分布），如图1-1-2所示。横坐标表示测量误差 (xl表示只含有随机误差的第l次测量值，X0为被测量的真值)，纵坐标为一个与误差出现的概率有关的概率密度分布函数 ，应用概率论的数学方法可以得到　　　　　　　　　 （1-1-1）
　式中，特征量 ，称为测量值的标准误差。测量值的标准误差　具有一个十分明确的意义：在一组次数n足够大的测量中，任何一次的测量值落在区间内的概率(可能性)为68.27%。
随机误差具有以下特征：
① 绝对值相等的正、负误差出现的几率大体相同（对称性）；
② 绝对值较小的误差出现的几率大，绝对值较大的误差出现的几率小（单峰性）；
③ 在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定限度（有界性）；
④ 当测量次数n → ∞时，随机误差的代数和趋于零（抵偿性）。
根据随机误差的特征，不难看出，增加测量次数可以减小随机误差。
　应该指出，由观察者的粗心或抄写中的马虎所出现的错误数据称为坏值，不能参与运算，应予删除。
4、测量结果的最佳值---算术平均值
　　 根据随机误差的统计特征判断，可以得到实验结果的最佳估计值（简 称为最佳值或近真值）。设在相同条件下，对某一物理量 X 进行了 n 次测量，所得到的一系列测量值分别为X 1 ，X 2 ，…，X l ，…，X n ，（称为测量列），则其算术平均值X 为：
           。 （ 1-1-2 ）
　  由随机误差的统计特征可以证明，当测量次数 n足够多，则其算术平均值就是最接近真值的最佳值，可称其为约定真值或近真值。算术平均值与某一次测量值之差叫偏差 （有时也被称为残差），即：
  显然，误差和偏差是两个不同的概念，但在实际应用中也没有必要将两者严格区别开来，也可以将偏差叫做误差。
5、随机误差的估算

　　　　在实际测量中，测量次数 n 总是有限的，根据数理统计理论，等精度测量列X 1 ， X 2 ，…， X l ，…， X n 的标准差 (贝塞尔公式法)为
。 （ 1-1-3 ）
　　　它表征对同一被测量作有限次 ( n 次 )测量时，其结果的分散程度。 测量列的标准误差 S (X ) 一般称为“实验标准差”或“样本标准差”，它也具有十分明确的意义： S ( X ) 是任何一次的测量值 X i 的标准差，在一组次数 n 足够大的测量中，任何一次的测量值 X i 落在区间内的概率 为 68.27 % ； 如果测量中只含有 随机误差，当测量次数 n → ∞时， 。实验结果的最佳值是其测量列的算术平均值 ，人们往往更加关心它的标准差的大小。根据数理统计理论，算术平均值 的标准差 (简称为 平均值标准差 ) 为
。 （ 1-1-4 ）
　它同样具有十分明确的意义：在一组次数 n 足够大的测量中，测量值的算术平均值 落在区间内的概率 为 68.27 % ； 如果测量中只含有 随机误差，当测量次数 n → ∞时，真值 X 0 落在 区间内的概率 为 68.27 % 。理论分析表明，若将置信区间变为 ，则置信概率为 95.3% ，若放大到 ，则置信概率变为 99.7% 。通俗地讲，若把 乘以一个不同的用以确定置信区间大小的“覆盖因子” (也称为“包含因子”) 就可以得到不同的置信概率 p 。然而，在实际测量中，测量次 n 是有限的。因而，测量值 x i 将偏离正态分布而服从 t 分布（又称为学生分布）。测量结果的在已确定的置信概率下，“覆盖因子”的大小与测量次数 n 密切相关。根据表 1-2-1 给出的 t 分布表，可以了解到置信概率 p 、测量次数 n 及 t 分布因子即t p ( n ) 因子（置信区间“覆盖因子”，在不会引起误解时，也可以简写成 t p ）的关系。例如：测量次数 n ＝ 5 ，要求置信概率 p ＝ 0.95 ，则 t p =t p ( n ) ＝ 2.78 ，此时，X的真值落在 之间的置信概率 p 为 95% 。
　应该指出 t p 随着测量次数 n 的增加而减小， n >10 以后 t p 下降很慢，因而一般测量中 n很少大于 10 。长期以来，在“一般测量”中，使用扣除已知系统误差的最佳 估计 值表示测量结果的大小，采用平均值的标准差表示测量误差。这样一来，无法用统计方法处理的那些误差分量在测量结果中便无法表现了，显然这种处理方法具有相当大的局限性。随着误差理论研究的深入及科学技术的发展，人们认识到，用“测量不确定度 ( Uncertainty of measurement ) ”的概念，能对测量结果作出更为合理地评价。
二、 测量误差与数据处理→测量不确定度及其评定
　　　1981 年，国际计量委员会 ( CIPM ) 批准发表了关于测量不确定度的正 式文件——《测量不确定度工作组织建议书 INC-1 ( 1980 ) 》，我国国家技术监督局也于 1991 年 8 月 5 日批准颁布了《 JJG 1027-1991 测量误差及数据处理 (试行) 》计量技术规范。该规范规定，在报告最后测量结果的表示形式中使用总不确定度。《 INC-1 ( 1980 ) 》只是一份十分简单的纲要性文件，不便实施，所以国际标准化组织 ( ISO ) 在国际计量局 ( BIPM )等七个国际组织的支持下，于 1993 年制定了《测量不确定度表示指南 ISO1993(E)》( Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement ISO 1993(E) ，简称 GUM93 ) ，并于 1995 年作了不很大的修改 ( 修改后的简称GUM95) ，为了保持与国际标准同步，我国又颁布了新的国家计量技术规范《 JJFl059-1999 测量不确定度评定与表示》用以取代 JJG 1027-1991中的测量误差部 分 。在新的国际标准和我国新的 计量技术规范中，将“总不确定度”改称为“扩展不确定度”。
1、测量不确定度的含义与分类
　  一、测量不确定度的含义
　　测量不确定度是 与测量结果相关、表示被测量的量值分散性的参数。通俗的讲，测量不确定度表示由于测量误差的存在，而使被测量值不能确定的程度。从这个意义上讲，测量不确定度是评定被测量的真值所处范围的一个参数，也可以说是表征测量误差在扣除其期望估计值(系统误差)后随机部分大小的统计特征值的估计值。用不确定度来评定实验结果，可以反映各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律。
　  二、不确定度的分类
　　测量结果的不确定度一般包含几个分量，按其数值的评定方法，这些分量可归入两大类，即A类分量(或称为A类评定)和B类分量(或称为B类评定)。
　  ⑴ A类不确定度—多次重复测量时，可以用统计方法处理得到的那些分量。
　  ⑵ B类不确定度—不能用统计方法处理，而需要用其他方法处理的那些分量。
2、测量不确定度的评定（估算）
　　评定测量不确定度的方法不是唯一的，按国际计量局的建议，测量不确定度可 以用算术平均值的标准差 、标准差 和自由度 等来表达。为便于操作，在本教材中，作了简化处理，省略了有关自由度的计算。
2.1、直接测量不确定度评定
　    1 ．多次直接测量的 A 类标准不确定度 的评定
　  “A 类标准不确定度的评定”也称为“标准不确定度的 A 类评定”，是标准不确定度中可以用平均值 的标准误差 表示的分量，即
                  。 （ 1-2-1 ）
　   2 ．直接测量量的 B 类标准不确定度 的评定
　   B 类标准不确定度可以用不能用统计方法处理的等价标准差 表征，即
                 。 （ 1-2-2 ）
式中， 是用极限差α表征的标准差，与这些极限差所服从的分布有关，如表 1-2-1 所示。

　  在物理实验中，极限差α一般为仪器误差Δ 仪 或通过其它方法得到的非统计误差的估计值。Δ 仪 通常取仪器的示值误差、基本误差或允差。需要时可查阅国家有关标准，仪器出厂说明书，仪器铭牌等，有时也可由准确度等级计算得到，必要时还可取仪器最小分度的一半代替之。Δ 仪 一般服从均匀分布，因而在物理实验中，取 B 类标准不确定度 为
             。 （ 1-2-2 ）
　    3 ．多次直接测量量的合成标准不确定度
　   利用目前广泛采用的“方和根”法，可求得合成标准不确定度 为
            。 （ 1-2-3 ）
　    4 ．单次测量量不确定度的估算
　   在物理实验中实行单次测量的两个主要理由（原因或条件）是：
　   ① 多次测量时， A 类不确定度远小于 B 类不确定度；
　   ② 物理过程不能重复，无法进行多次测量。
　   在这种情况下简单地取：
             （ 1-2-4 ）
即可。但对于后一种情况，确定 时除考虑Δ 仪 因素外，还要兼顾实验条件等带来的附加不确定度。在物理实验中，通常由实验室以“允差”的形式给出。
  　5 ．直接测量量的标准相对不确定度
　  直接测量量的标准相对不确定度为
            。 （ 1-2-5 ）
2.2、间接测量量的不确定度
 在物理实验中，一些物理量的测量不能直接进行，而是通过它与直接测量量的某种函数关系计算出来的。由于每一个直接测量量有误差，则这种误差必然通过函数关系传递给间接测量量，使间接测量量有误差。与此同时，间接测量量也就有了自己的不确定度。
 1．间接测量量的近真值
 设被测量Y和各直接测量量 有下列函数关系：

则该物理量的近真值 为

式中：是决定被测量Y(间接测量量)大小的第 i 个输入量(第 i 个直接测量 量) 的算术平均值(最佳估计值) ； 是这些直接测量量 xi 的测量列，l = 1, 2, …, mi ，即第 i 个直接测量量的独立测量次数为 mi  。
  2．间接测量量的标准不确定度
  对反应间接测量量Y的函数关系式 求全微分，得
　　　　　 （1-2-8）
上式表明，当 有微小改变 (简写为dxi)时，Y 也将改变 dY 。通常误差远小于测量值，故可以把dx和 dy 看作误差，这就是误差传递公式。通过该式，如果我们求得了各直接测量量 的合成标准不确定度 ，间接测量量Y的合成标准不确定度和相对标准不确定度也可以求得。根据方差合成定理，间接测量量Y的合成标准不确定度 为
　　 　　　（1-2-9）
　间接测量量Y的相对标准不确定度为
　　　　　　 （1-2-10）
 上面两个公式就是不确定度传递的基本公式。对于和差形式的函数，用（13）式比较方便；而对于积商和乘方、开方形式的函数，则用（14）式比较方便。实际计算时，传递系数 以及 等均以平均值代入。用上面两式推出的某些常用函数的不确定度传递公式如表1-3-1所示。
表1-3-1 常用函数的不确定度传递公式
函数形式
不确定度传递公式

或

（K为常数）
或

  3．扩展不确定度 的评定
  将间接测量量的合成标准不确定度 乘以一个与所要求的置信概率p相关的覆盖因子kp，便构成相应的扩展不确定度 ，即
               。 （1-2-10）
 应该指出，直接测量量的合成标准不确定度 乘以一个与置信概率p相关的覆盖因子kp，也可以构成相应的扩展不确定度。但是，由于在报告最后测量结果时只需报告间接测量量的扩展不确定度，直接测量量的扩展不确定度便没有计算的必要了。另外，如果测量结果直接由直接测量量构成，实际上这是间接测量的特例，即确定被测量Y的函数关系为 ，被测量Y的合成标准不确定度与直接测量量的合成标准不确定度 相同。
　　覆盖因子（包含因子）kp的大小不仅与置信概率p有关，还与需要进行扩展的标准不确定度所服从分布类型及自由度有关，当确定间接测量量的合成标准不确定度的输入参数较多，且自由度非常高时，可按正态分布处理。而实际测量中自由度的大小通常是有限的，所以kp需要根据t分布来确定。由于B类不确定度“等效自由度”的确定和合成标准不确定度“有效自由度”的计算过于复杂，所以在物理实验中，约定置信概率为p = 0.95，在此情况下，近似取k0. 95 = 2。即
　　　　　 （1-2-11）
  4．测量结果的扩展相对不确定度的计算
 测量结果的扩展相对不确定度为 ，在约定置信概率p = 0.95的情况下
　　　　 （1-2-11）
   5．测量结果的表示
 测量结果表示为  （计量单位）（p= ）,在约定置信概率p = 0.95的情况下
　　　　　　　            （1-2-11）
三、测量误差与数据处理→有效数字及数据处理实例

　　　 物理实验离不开物理量的测量，直接测量需要记录数据，间接测量不仅需要记录数据，而且要进行数据的计算。由于任何测量都存在误差，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。所以直接测量的数据记录和间接测量的计算结果反映了近似值的大小，并且在某种程度上表明了误差。因而，反映实验测量结果大小的数字应当是有意义的数码，而不允许无意义的数码存在。具体地讲，在直接测量被测物理量数值时应取几位数字？在按函数关系计算间接测得量数值时又要保留几位数字呢？这是实验数据处理中一个重要问题。为此，引入有效数字的概念。
1、有效数字的概念 
　　为了形象地说明有效数字的概念，可以参照一个测量实例，如图1-3-1所示。
在本例中，我们用最小刻度为毫米的米尺来测量某物体的长度，可以看出图1-1-3 （a）中的物体的长度在2.1cm到2.2cm之间。虽然米尺上没有小于毫米的刻度，但可以凭目力估计到 mm(最小刻度的 )， 因而可以读出物体的长度为2.11cm、2.12cm或2.13cm。 前两位数字可以从尺上直接读出，是准确可靠的数字，而第三位数字是观测者估计读出来的。估读的结果因人、因时、因地而，异因此这一位数字是有疑问的欠准确数字，含有误差，通常称为存疑数字。由于第三位数字已是可疑的，所以在它以下的各位数字的估计就没有必要了，继续估读下去就是多余的，没有任何意义；而这三位数字都是有意义的，缺少任何一位不能正确表示这个物体长度的测量值。
　　　 通常人们把测量结果中可靠的几位数字加上最后一位存疑数字统称为测量结果的有效数字，或者说，从发生误差的这一位算起，包括这一位及以上的数字都是有效数字。有效数字的最后一位虽然是可疑的，但它在一定程度上反映客观实际，因此它也是有效的。
　　所以，本例中的测量值是三位有效数字。如果物体的末端正好与某刻度线对齐(如本例的b图所示)， 估读位是“0”，所以这个“0”也是有效数字,必须记录。此时读出物体的长度应为2.20cm，是三位有效数字。如果写成2.2cm就不能如实反映测量的精度，在实验中读数时，请勿忘记此点。
　　应该指出,在表示间接测量结果大小的有效数字中，有时也可以保留2位存疑数字，具体应该保留几位，由后述的测量结果的扩展不确定度的修约来决定。
　　　 如果用同一量具去测量两个大小不同的同一种物理量，量值大的一方测量结果的有效数字位数就多。本例中当被测物体长度超过10cm，有效数字位数就会达到或超过四位,测量值的相对误差就会变小。用两件量具去测量同一物体的长度,准确度高的量具所测数据的有效数位比准确度低的量具所测数据的有效数位要多。若用螺旋测微器(最小分度值为0.01mm)测量本例中物体的长度，存疑数字一般产生在0.001mm这一位，测量结果的有效数字位数较米尺的测量结果多两位数,显然螺旋测微器的精度较米尺高很多。所以有效数位多少与所用测量工具的准确度高低以及被测物体长度有关，因此有效数位不可随意增减。
2、有效数字的说明 
　① 有效数字的位数与小数点的位置无关。换句话说，表示小数点位置的"0"不是有效数字。例如：0.0212m = 2.12cm=21.2mm都是三位有效数字。
　② 不得随意在测量数据的末尾添加或删减数字“0”。根据本例（图1-3-1）可知，有效数字末尾的“0”表示存疑数字的位置，随意增减会人为夸大测量的准确度或者是测量误差。
　③ 用科学计数法表示太大或太小的有效数字。所谓科学计数法就是采用乘以10的整数幂的方式（×10n）表示数值的大小，即可以缩短较大计量单位下数值的位数,也可以避免在较小计量单位无法正确书写测量结果。这种书写方式，是实验数据记录和表示的标准方式。
例如：2.12cm = 2.12×10-5km = 2.12×10-2m = 2.12×107nm。计量单位改变，有效数字的位数不能改变。
　④ 一些参与函数运算的整数型或非整数型数学常数 、π等均不是有效数字,也可以把它们看成是位数为无穷大的有效数字。在参与运算时,如果为了方便运算需要作舍位处理时,为了不因此增大运算结果的误差,它们的取位原则是要比参与运算的其它因子中有效数字位数最少的多2位。参与函数运算的物理量的公认值，如电子的电量 e 等，也应照此处理。
　　　 在函数运算过程中，中间结果应多保留几位，以免因舍位过多或修约过　 早带来过大的附加误差。
3、数据的修约 
一、确定有效数字的存疑数字（或存疑位）的基本原则
　　测量结果的存疑位取决于测量不确定度发生位，即结果的有效数字位数的末位数与其不确定度的末位数对齐。换句话说，测量不确定度的大小决定了有效数字的位数。例如，测量某物体的体积，测量不确定度的大小为0.006m3,而计算所得物体的体积为2.85324m3,由于测量不确定度发生在m3的千分之一位上，所以体积的千分之一m3这一位及以后的数位都是存疑位，最终结果应表示为(2.853±0.006)m3。
二、测量不确定度的有效位数
　　根据有关规范，测量不确定度的数值不应给出过多的位数，在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可以多保留几位，在报告最终结果时，测量不确定度的有效位数最多为2。
1．测量不确定度有效位数的选择
　　根据规范，测量结果的不确定度的有效位数可以是1～2位。但是，在保留１位时，有些情况下会产生较大的修约误差，特别是保留下的这位数值较小时更是如此。例如，经计算某个被测量的测量结果不确定度为0.13 m，若将其修约成0.1m，因修约引起的误差为-0.03m，是测量结果不确定度的30%，对评价测量质量影响很大。因此本教材规定，当测量不确定度在修约前第１位非零数字小于或等于３时，有效位数应取2位；第１位非零数字大于或等于4时，有效位数取1位、2位均可。
2．测量不确定度有效位数的修约
　　在保留测量不确定度的有效位数时，需要对数值进行进位或舍位处理。为了避免因舍位而过多地降低测量不确定度的可靠性又便于操作，可以采取３舍4进的处理方式。即需要截掉的首位小于或等于3时作舍位处理；大于或等于4时作进位处理。
例如，计算得 ，应修约成 ；计算得 ，应修约成 ；计算得 ，可修约成 ；计算得 ,可应修约成 。
三、测量结果的修约
1．测量结果表示的书写方式
　　根据确定有效数字的存疑数字的基本原则，也为了使测量结果表示规整，测量结果的末位应与修约后的测量不确度的末位对齐。例如：R = (2.035±0.011)×103Ω、R (1.206±0.008)×103Ω等均是正确的表示方法；而R＝ (2.04±0.011)×103Ω、R = (1.2063±0.008)×103Ω等则是错误的书写方法。
2．测量结果有效数字的修约
　　根据测量不确定度的大小,在对测量结果进行截断时，有效数字的末位需要作进、舍位处理。处理办法应遵守数值修约规则(GB8170—87)的进舍规则
⑴进舍规则
①拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。
例1：若根据测量不确定度的大小需要将12.1498修约到一位小数，得12.1。
例2：若根据测量不确定度的大小需要将12.1498修约成两位有效位数,得12。
② 拟舍弃数字的最左一位数字大于5;或者是5,而其后跟有并非全部为0的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。
例1：若根据测量不确定度的大小需要将1268修约到“百”数位,得13×102（特定时可写为1300）。
例2：若根据测量不确定度的大小需要将1268修约成三位有效位数,得127×10（特定时可写为1270）。
例3：若根据测量不确定度的大小需要将10.502修约到个数位，得11。
③ 拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数（1，3，5，7，9）则进一，为偶数（2，4，6，8，0）则舍弃。
例1：若根据测量不确定度的大小需要将1050修约到一位小数，得1.0。
例2：若根据测量不确定度的大小需要将0.350修约到一位小数，得0.4。
⑵ 不许连续修约
拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果,而不得多次按前述规则连续修约。
例如：将15.4546修约到个位。
正确的做法：15.4546→15；
不正确的做法：15.4546→15.455→15.46→15.5→16。
四、未评定测量不确定度时的有效数字的取位方法
如果在实验中没有进行测量不确定度的估算，最后结果的有效数字位数的取
法如下：
① 在乘、除运算时，结果的有效数字位数与参与运算的各量中有效数字位数最少的相同。
② 乘方、开方、对数、指数等运算结果的有效数字位数不变。
　 ③ 在代数和的情况下，则以参与加减的各量的末位数中量级最大的那一位为结果的末位。
4、数据处理实例 
1.3.4 数据处理实例
例1-3-1：测钢圆柱体的密度
测量工具：精度为0.02mm的卡尺一把，精度为0.004mm的千分尺一把，7等天平一架，3等砝码若干。
一、 测量数据见表1-4-1
表1-3-1 测量数据
 被测量及工具标度

测量次数 　　　测量值
/mm
卡尺：量程0~200
精度：0.02
d/mm
千分尺：量程0~25
精度：0.004
m/g
天平：7级
砝码：3等
1
29.22
12.257
m：单次测量。
上称砝码为：20g,5g,1g,500mg,200mg,100mg,10mg, 5mg, 1mg,
各一个。
测得值为：
26.816
2
29.30
12.261
3
29.24
12.256
4
29.28
12.252
5
29.26
12.257
6
29.24
12.254
7
29.28
12.258
平均值
29.26
12.256
26.816
二、 数据处理过程
(1) 密度 平均值的计算
依据公式 可求得
kg/m3。
(2) 各直接测量量标准不确定度的计算
① 多次直接测量量h的合成标准不确定度
A类 ：依据公式（5），即 ,求得
=0.0106mm，
B类 ：查GB1214-85，游标卡尺示值误差Δ仪=0.02mm，则
。
　h的合成标准不确定度为
　 ，
　h的相对标准不确定度为
。
② 多次直接测量量d的合成标准不确定度
A类 ：依据公式（5）：求得
=0.000 109mm；
B类 ：查GB1214-85，千分尺示值误差Δ仪=0.004mm，则
；
d的合成标准不确定度为
，
d的相对标准不确定度为
。
③ 单次直接测量量m的合成标准不确定度
　　对于单次直接测量量，其合成不确定度只计及B类不确定度，即 = 。为求 ，需
查GB4167-85获取砝码允差（mg），按所用砝码的等级（3等）及质量分别查出每一个砝码的允差，然
后相加，则有（为简单计，不计天平的示值允差。但如果天平的精度较低时,其示值允差往往不能忽略）：
，
　即 =0.72mg。
m的相对不确定度为
。
(2) 间接测量量 的标准不确定度
根据公式（14）或直接查表（表1-3-1），得到

　将已求得的 、 和 代入上式，求得 的相对不确定度，而 ，则
。
(3) 测量密度 的扩展不确定度
，
　相应的相对不确定度为
。
三、待测量 的最终测量结果
，（ p = 95 ）。
四、测量误差与数据处理→实验数据的处理 
　　　实验数据处理是指从获得实验数据起，到得出实验结果止的加工处理过程。其中主要包括记录、整理、计算、分析等的处理方法，本章将结合物理实验的基本要求，介绍一些最基本的实验数据处理方法：列表法、作图法、最小二乘法。
1、列表法 
　　 　顾名思义，列表法就是把数据按一定规律列成表格，是记录数据的基本　方法，又是其它数据处理方法的基础，应当熟练掌握。列表法处理数据，可以使实验结果一目了然，避免数据混乱或丢失数据，也便于查对，所以说，列表法是记录测量数据的最好方法。
　　　为了养成良好习惯，减少差错，每次实验前，都应该根据实验要求，设　计画好所用的空白表格，以备在实验中记录数据。列表注意事项：
　(1) 表格设计合理、简单明了，重点考虑如何能完整地记录原始数据及揭示　　　相关量之间的函数关系。
　(2) 表格的标题栏中注明物理量的名称、符号和单位 ( 单位不必在数据栏　　　内重复书写 ) 。
　(3) 数据要正确反映测量结果的有效数字 。 我们推荐一种避免数据记录出　　　错的好办法：数据的原始记录采取直接记录标尺读数方式。即从对从标尺上直接得到分度数不要作任何计算 ( 不必乘以分度值 )，以免出错，在报告列表栏内再作必要的计算和整理。
　(4) 提供与表格有关的说明和参数。包括表格名称，主要测量仪器的规格 型号、分度值、量程及准确度等级等 ) ，有关的环境参数 ( 如温度、湿度等 ) 和其它需要引用的常量和物理量等。
　　　实验数据记录举例，如表 1-4-1 所示。
表 1-4-1 伏安法测电阻数据表
测量次数
1
2
3
4
5
V / V
9.50
8.92
8.27
7.80
7.41
I / mA
49.2
46.3
42.9
40.6
38.4
电表基本参数
电压表
级别： 0.5 级；量程 0 ～ 10V
电流表
级别： 0.5 级；量程 0 ～ 50mA
2、作图法 
　　在坐标纸上用曲线图形描述各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来,这就是作图法。作图法的优点是直观、形象,便于比较研究实验结果，求某些物理量，建立关系式等。
1. 作图法的作用与优点
(1) 作图法可以研究物理量之间的变化规律，找出相互对应的函数关系。用　　作图法可以验证理论并有可能求出经验公式。
(2) 用作图法可以简便地从图线中求出某些物理量，例如所作直线的斜率和　　截距可能就是要求的物理量,或者乘以一个已知量就得到要求的物理量。
(3) 在曲线上，可以直接读出没有进行观测的对应物理量的值(内插法)，也　　可以从图线的延伸线上读到原测量数据范围以外的点(外推法)。
(4) 所作曲线还可以帮助发现实验中个别的测量错误，并可对系统误差进行　　初步分析和校准仪器。
(5) 可把某些复杂函数关系通过变量置换法用直线来表示。例如PV = 恒量，若将P-V曲线改为 曲线，就把曲线变为直线了。
2. 作图法的局限性
(1) 由于受图纸大小的限制，点所代表的数据一般只有三四位有效数字。
(2) 图纸本身的均匀、准确程度有限。
(3) 在图纸上联线时有相当大的主观任意性。
(4) 它不是建立在严格统计理论基础上的数据处理方法。
3. 作图规则
(1) 作图一定要用坐标纸，根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，　　双对数坐标纸，极坐标纸等，本书主要采用直角坐标纸。坐标纸的大小和坐标轴的比例,应根据测量数据的大小、有效数位和结果的需要来定。
(2) 坐标轴的比例和标度。适当选取横轴和纵轴的比例及坐标的起点,使曲线比较对称地充满整个图纸，不偏于一角或一边。标度时要做到：
　①轴上最小格对应数据中准确数字的最后一位，即要保证图上实验点的坐标读数的有效数字不少于实验数据的有效数字位数。
　②轴的标度应划分得当,以便不用计算就能直接读出图线上每一点的坐标。　　因此，通常每格代表1、2、5，而不选用3、7、9。
　③横轴和纵轴的标度可以不同，使图线充分占有图纸空间，不要缩在一边或一角。两轴的交点可以不为零而取比数据中最小值稍小些的整数，以便调整图纸的大小和图线的位置。
(3) 画出坐标轴的方向，标明其所代表的物理量及单位。一般是自变量为横轴，应变量为纵轴，采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理量的名称，单位。
坐标轴上标明分度值(注意有效位数)，在轴上每隔一定间距标明该物理量的数值。在图纸下方和图线上方的空白位置处写上图名。图名若以物理量符号表示，应把纵轴符号写在前，例如P-V曲线。
(4) 曲线的标点。用“+”标出各点的坐标，当在同一张纸上画出不止一条曲线时，每条曲线的数据点应采用不同的标记，可分别用“+”、“×”、“○”和“▲”等加以区别。
(5) 用直尺或曲线板等联线。根据不同情况,把数据点联成直线或光滑曲线图线不一定要通过所有的点，而要求图线两侧旁偏差点有较均匀的分布。校准曲线要通过各校准点，联成折线。
　　此外,还应写明实验者姓名和实验日期，并将图纸贴在实验报告的适当位置。
　例如，用直角坐标纸作图，如图1-4-1所示，数据来源表1-4-1。图中“◆”符号表示测量点，用“●”符号标示的B点和A点是为求直线斜率所选的两个点,所得到的直线斜率即是待测电阻R。

3、逐差法 
　　逐差法是实验数据处理的一种基本方法,其实质就是充分利用实验所得的数据，减少随机误差，具有对数据取平均的效果。因为对有些实验数据,例如对弹性模量实验的标尺读数ni，若简单地取各次测量的平均值,中间