《超级画板》的轨迹功能.doc

谈谈超级画板的轨迹功能
彭翕成 pxc417@
武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心 430079
美国开发的几何画板是现在比较流行的动态几何软件，最受用户欢迎的功能有两个，轨迹功能即是其中之一。那么我国自主研发的《Z+Z智能教育平台——超级画板》对于轨迹这一功能的设计，又有什么特别之处呢?
我们可以用对应的观点来看待轨迹，将轨迹看作是由主、从动点的运动而生成的图象，构造轨迹的关键在于构造出合理的主、从动点间的对应关系。主动点必须为半自由点，满足一定的约束条件，经过对应法则F之后，生成从动点F(A)，主动点带动从动点运动，从而生成轨迹。根据主、从动点对应点的个数来看，可将轨迹的构造分成三类。

（1）一个主动点对应一个从动点
一个主动点对应一个从动点，这种对应关系可看作是一一映射，也是构造轨迹时最为常用的方法。譬如动态构造三角形的中位线时(图1)， 先在底边BC上任取一点D，连接AD，作AD中点E，然后选择D、E，构造轨迹，则可得到△ABC底边上的中位线。这样的轨迹构造让人更加了解中位线的本质：底边上“任意一点D”与顶点A连线中点的集合构造了中位线，点D、E是存在一一对应关系。图2是构造椭圆的一种的常用方法，先作两个同心圆，然后在大圆上任取点C，通过一定的对应法则之后，生成了点F，于是C、F之间存在一一对应关系，构造轨迹即可得到椭圆。

图1 图2
（2）一个主动点对应多个从动点
一个主动点经过一定的对应法则之后，是可以生成多个从动点的，譬如图3 所示的椭圆构造。首先作出线段AB和线段上点C，然后任作D、E两点，分别以点D、E为圆心，AC、BC为半径作圆，使之相交于F、G两点，当然线段DE长度小于线段AB长度是保证两圆相交的前提，也是构造椭圆必须满足的条件。分别选择点C、G和点C、F作轨迹，则可以得到椭圆。其中，点C每时每刻都与F、G两点保持对应关系，该椭圆也是由点C带动F、G两点，生成上下两部分轨迹组合而成。当点C在AB延长线上时，即为双曲线的轨迹。

图3 图4
（3）多个主动点对应一个从动点
如果说一对一，一对多是几何画板也能实现的话，那么接下来要讲的多对一则是几何画板之所不能了。其实说起来，多对一在数学中相当常见，譬如一个有序实数对与平面上一个点存在一一对应关系，反映在图形上则是二对一的关系(如图4)，A、B两点对应了点C。
超级画板和几何画板在很多初级功能上存在相通之处，譬如轨迹功能中的一对一、一对多，用法基本相同，已经有文章做过这方面的介绍，本文仅就超级画板所独有的多对一进行举例说明。
例1正弦曲线的生成
(1) 以点A为圆心，AB为半径作圆，并在圆上任取点C；
(2) 作线段AD，并在线段上任取点E；
(3) 过点C作AD平行线CF，作EG垂直于CF，垂足为点G；
(4) 以点C和E为主动点作点G的轨迹，可得到图5所示正弦函数。

图5
这样作正弦曲线的原理：点E以速度在直线上运动，点C在圆上运动，离AD的距离为，若以点A为原点，为横轴建立坐标系的话，点G的坐标为，即，假若所作圆为单位圆，那么可得正弦函数的标准形式。类似地，我们还可以作出正切曲线。需要说明的是，超级画板可以利用绘制函数曲线功能直接画出正弦函数，此处的轨迹法一般用于物理教学。
例2方圆互变
(1) 作一个圆和正方形；作出正方形边上的点I和圆上点H，连接HI，在线段上任取点J；
(2) 以点H和I为主动点作点J的轨迹，可得图6；
(3) 作出点J的动画，可以看到圆与正方形相互转化的动画。

图6
若将此案例加以修饰，还可以作出更漂亮的动态图案，图7、8就是其中两个截图。这需要用到“填充”功能。填充的功能是相当强大的，不但能填充各种各样的颜色，还可以产生随参数变化的渐变效果，甚至可以填充你喜欢的图片。相比之下，几何画板不具备这一功能，所作的轨迹就显得十分的单调，没有这种五彩缤纷的效果。

图7 图8
前面所说的都是点与点之间的关系，进一步思考，假如以生成的从动点为圆心作圆，当主动点带动从动点运动时，那么圆也要随之运动，并生成轨迹；又假如将生成的两个从动点连接成线，那么主动点运动也会间接带动线段运动，同样生成轨迹；这样的假如还有很多，可谓是变化万千，奥妙无穷，等着我们这些数学爱好者去构造，去探索。下面仅举一个简单构造来说明轨迹变化之多。
例3百变曲线
看到下面图9中有这么多的小图片，你相信它们都是出自同一个课件，只是参数不同而已么？确实难以置信！即使相信，也会以为这个课件的制作相当复杂。
图9
本课件制作相当简单，步骤如下：
（1） 任意作圆，圆心为点A，点B控制半径；在3个圆上分别取点C、D、E；
（2） 连接线段ED，并在ED上任取点F；连接线段CF，并在CF上任取点G（图10）；
（3） 以C、D、E为主动点作出点G的轨迹；将轨迹属性中3个最大值中改为floor(2*a)*pi，floor(2*b)*pi，floor(2*c)*pi，运动点的基本频率改为1000，间断点的最小值改为1；
（4） 作出变量a,b,c的变量尺和动画按钮；拖动点的位置，调整变量a,b,c的数值，会产生很多意想不到的变化。
区区的1个圆，两条线段，再加几个点能够产生如此多的意想不到的变化，不借助计算机以及相应的软件是绝难想象的，这也正是数学的迷人之处。读者可以尝试着分析这一神奇的轨迹，如果觉得太难，可以从简单的着手，譬如假设点G是△CDE的重心（或垂心、内心、外心），图11是重心时的一个情形。而几何画板对轨迹功能设计不够，只允许“一个主动点”生成轨迹。而在数学中，要想产生复杂变化，就必须支持多个主动点，就好比一个函数方程，其中含可变化参数越多，那么函数图象的变化也会随之增多。

图10 图11
轨迹功能还有很多的用途，譬如可以利用轨迹功能制作温度计、直尺等的刻度（图12），这也是教学中非常需要的。

图12
如果读者对本文的课件感兴趣，可以登陆数学通讯的网站下载，也可发邮件给作者（pxc417@）。