平方差课例.docx

课题：人教版八年级数学上册“15.2.1平方差公式”

一、内容和内容解析
“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”中的第1个公式．教学中，应让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的过程．首先，让学生从已有认知出发，在多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，并且运算结果简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；其次，通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用，既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便，又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；最后，从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础
二、教学目标：
☆知识与技能
(1)理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；
形如：“(a+b)(a−b)”=“a2−b2”．
☆过程与方法
(1)使学生经历公式的独立建构过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；
(2)培养学生抽象概括的能力；
(3)培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究问题的策略．
☆情感态度价值观
纠正片面观点：“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义!学了数学没有用!”体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值．
教学重点：平方差公式的本质的理解与运用
教学难点：平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性．
教学方法：讲练结合、讨论交流．
教学过程
(一)速算大比拼
在一次全班的智力抢答赛中，老师提供了两道题：
1．31×29=?
2．103×97=?
老师话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于899，第二题等于9991．”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗?你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢?
【设计意图】通过“速算智力比拼”这一情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课．
(二)动手操作
(1)现有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数；

(2)请把这两个数的和与差分别表示出来．这两个式子是多项式还是单项式?
(3)请将所得的和与差相乘并化简；
(4)请思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么?(让学生用自己的语言描述出来)
【设计意图】让学生运用前面已掌握的三个乘法法则，自己动手演算，积极思考，尝试数学表述，为后面的抽象概括做好准备．
(三)抽象概括
教师同时叫三个学生板演不同的操作演算形式：

三位同学所用的字母，所得的结果完全不同!请问：他们的结果真的没有一点共同之处吗?引导学生横向比较三个结果，抽象概括出它们的共同结构：“两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方之差．”
它就是整式乘法的一个乘法公式——平方差公式

【设计意图】通过三个不同刺激模式，由特殊到一般，通过引导，与学生共同抽象概括出平方差公式，发挥教师的主导作用，学生的主体作用，培养学生抽象概括能力．
(四)公式运用
例1运用平方差公式计算：

分析：引导学生识别出它们都是两个数的和与这两个数的差的乘积的形式．
1．下面各式的计算对不对?如果不对，应当怎样改正?

【设计意图】1．根据变式理论，设计了不同形式类型的典型例题，强化平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性．
2．这组练习主要是要考察学生有没有掌握平方差公式的结构．
(五)速算解密

【设计意图】呼应前面速算比赛这一部分，解答学生心中的疑惑，让他们体会到平方差公式的威力．
(六) 巩固运用，内化新知
1课堂练习：P153练习第2题
2运用平方差公式计算：

【设计意图】可以让学生接触不同形式的问题，建立起以数的眼光看式子的整体观念，进一步强化平方差公式的本质，即：结构的不变性，字母的可变性．
(七) 数形结合，几何说理
有人说，数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义!请问数学真的没有什么实际意义吗?请看下面的问题：
几何解释：
(1)请表示图(1)中阴影部分的面积．
(2)将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?
(3)比较前两问的结果，你有什么发现?
S阴＝a^2−b^2，S阴＝(a+b)(a−b)，
所以(a+b)(a−b)＝a^2−b^2．
【设计意图】新课标提出的三维目标中包括情感态度价值观目标．设计几何解释，目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系，是看得见摸得着的，纠正“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际的意义．”这样的偏见．
(八) 剖析公式，揭示本质
1．平方差公式的本质：(a+b)(a−b)=a2–b2．
(1)结构是稳定不变的，即：只要是两个数的和与这两个数的差的乘积，就一定等于这两个数的平方之差．
(2)公式中的字母a和b却可变的!可以是其它字母，可以是正数，也可以是负数；可以是单项式也可以多项式．
2．我们为什么要学习平方差公式，学了它我们能做什么呢?
在进行某些乘法运算时，利用平方差公式，可以进行简便、快速运算．
计算：(a+b+c)(a+b−c)=?
解：(a+b+c)(a+b−c)=[(a+b)+c][(a+b)−c]=(a+b)2−c2．
那么如何计算(a+b)2=?也就是说，如何计算两数和的完全平方呢?让我们共同期待下一次数学课的到来!
【设计意图】让学生看到公式的本质所在，能突破公式字面意义的局限性，建立起较高层次的有意义条件反射，而不是机械的记忆公式．
点明学习平方差公式的必要性．
进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，并为下一节内容的学习埋下伏笔．
(九)布置作业
家庭作业：P156
1．运用平方差公式计算：

【设计意图】由浅入深的练习和灵活的变式练习，能够强化本节课所学知识．
2．课外探究．
如图3所示，从边长为a的大正方形纸板中，挖去－个边长为b的小正方形后，将其裁成4个相同的等腰梯形，再拼成－个平行四边形．那么通过计算平行四边形的面积，可以验证公式____________________．
【设计意图】数形结合，从几何意义上理解代数公式，多方位地理解新知、运用新知，加深学生对平方差公式的理解．