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第五章 三角函数纠错
对于三角函数来说，传统数学忽视了如下三方面的问题。
其一，传统数学是将直角三角形的一个锐角作为自变量来定义三角函数的。现在的问题是，直角三角形有两个锐角。分别以该两个锐角为自变量来定义三角函数时，其结果完全相反，正弦变成了余弦，余弦变成了正弦；正切变成了余切，余切变成了正切。
其二，正弦函数是三角函数的主函数。它的原形（曲线图像）是一个正园形。而一般的数学教材都会将它变换成波浪形。非常明显，正园形与波浪形的导函数是完全不同的，传统数学却没有关注到这一点。
其三，将正园形变换成波浪形，还存在一个变换比例的问题。因此，现行高等数学一概而论，拢统的说正弦函数的导函数是余弦，这完全是错误的。
下面讨论上述三方面的问题，并给出与正弦函数原形和变形相关的微积分公式。
5-1 三角函数定义的完善
这一节我们要重新审视三角函数的定义。
如下面图一所示，由直边a、横边b和斜边c组成一个直角三角形，它除有一个直角外，另有e、f两个锐角。对于构成直

图一：三角函数定义示意图

角的a、b两条边，我们称之为直角边；若以斜边c与直角边b的交角e为自变量，则，我们称直角边b为主直角边（传统数学称其是角e的邻边）；而另一条直角边a则称之为副直角边（传统数学称其是角e的对边）。根据传统的三角函数定义，我们有：
副直角边a除以斜边c称之为正弦函数，即
sin e=；
主直角边b除以斜边c称之为余弦函数，即
cos e=；
副直角边a除以主直角边b称之为正切函数，即
tg e=；
主直角边b除以副直角边a称之为余切函数，即
ctg e=。
当然，我们也可以以角f为自变量。不过，因为角f是由斜边c与直角边a构成的，所以，这时的主直角边变为a，而直角边b则变为副直角边；因此，根据上述定义，我们又有：
副直角边b除以斜边c称之为正弦函数，即
sin f=；
主直角边a除以斜边c称之为余弦函数，即
cos f=；
副直角边b除以主直角边a称之为正切函数，即
tg f=；
主直角边a除以副直角边b称之为余切函数，即
ctg f=。
为方便记忆和理解，现将三角函数以不同锐角为自变量的变化情况立表于下：

三角函数自变量互换对照表
以直角边区分
以c和b构成的锐角为自变量
以c和a构成的锐角为自变量
正弦函数=副直
角边除以斜边
sin e=
sin f=
余弦函数=主直角
边除以斜边
cos e=
cos f=
正切函数=副直角
边除以主直角边
tg e=
tg f=
余切函数=主直角
边除以副直角边
ctg e=
ctg f=

需要补充说明的一点是，传统数学在定义三角函数时，针对定义角，将直角边区分为邻边与对边并没有错。但是，在下面的证明中，对两个锐角进行区分，却是必要的。所以，我们对两个锐角进行区分，并非多此一举。
5-2 正弦函数的原形及其相关的微积分公式
如下面图二所示，在平面坐标系的第一像限内，由坐标系的交点作一个条射线r，在射线r上任取一点P，经点P作横坐标的垂直线a，这样一来，a、b（横坐标的一段）、c（射线r的一段）

图二：正弦函数示意图一

三条线组成一个直角三角形，若以c、b的交角d为自变量，则b为主直角边，a为副直角边，根据上一节我们对三角函数的定义，副直角边除以斜边称之为正弦函数。因此，由图二所确定的正弦函数
sin d =。
根据传统数学的相关论述，三角函数的函数值与直角三角形的大小无关因此，我们不防令该直角三角形的斜边c的长度（即坐标交点到p的长度）为1。这样一来，
sin d=a。
这也就是说，当c=1时，点p到横坐标的垂直距离即角d的正弦值。
现在我们再来考虑，当角d=0时，射线r与横坐标负半轴重合，点p到横坐标的垂直距离为0，也就是
sin 0=0
当角d从0开始增长时，射线r将顺时钟方向旋转，根据园的定义，点P的轨迹为正园弧（如图三所示）。这也就是说，正弦函数的原形是一个正园形。对于该正园形的导函数，我们称之为正弦函数的原形导函数。
如图三所示，过p点作射线r的垂直线c。显然，该垂直线c同时又是p点的园切线，该切线的斜率，也就是园弧p点的

说明：右图是由左图略去园而来
图三：正弦函数示意图二

导数。非常明显，只要射线r与横坐标左半轴（b）的交角0＜d＜90°那么，c必定与横坐标（b边）和直坐标（a边）相交，构成一个直角三角形。c作为这个三角形的斜边，它的斜率也就是该直角三角形的直边a除以横边b。由此推论，正弦函数的原形导函数属于三角函数的切类函数。至于它究竟是正切还是余切，这需要根据它的自变量是那一个锐角来确定。
如图三所示，除上述由a、b、c三条边组成的大直角三角形外，r、b、c三条边还组成了一个小直角三角形。根据上述我们对正弦函数原形的相关设定，其自变量是该小三角形的锐角d。那么，直角三角形abc的那一个锐角可以取代d作为自变量呢？
我们首先来考虑锐角e。当d=0时，射线r与横坐标左半轴（b）重合，因此，射线r的垂直线c也成为横坐标左半轴（b）的垂直线，根据三角形内角和定理，此时锐角e的角度为90，是一个直角。当d从0开始增长时，
e=90－d，
锐角e的角度将隋着d的增长而变小。当d从0增长到90时，
e=90－90=0。
这也就是说，e的变化规律是由90变为0。而正弦函数自变量的变化规律（即锐角d的变化规律）是从0增长到90。因此，锐角e不能作为正弦函数的自变量。当然也不能作为求正弦原形导函数的自变量。
现在再来考虑锐角f。对于上述大小两个三角形来说，前者的两个锐角是
e、f；
后者的两个锐角是
e、d。
根据三角形的内角和定理，任意三角形的内角和均为180度，上述两直角三角形都有一个直角，直角的角度为90度，故它们的两锐角之和均为90度。又因为它们有一个共同角e，因此，我们有
90－e=f；
90－e=d。
故
d=f。
因此，对于直角三角形abc来说，符合正弦函数自变量变化特征的锐角为f。当我们以f为自变量时，a边为主直角边；b边为副直角边。根据上述三角函数的定义，主直角边除以副直角边为余切。至此，我们证明：正弦函数的原形导函数为余切。因为正弦与余弦、正切与余切仅仅只是排列顺序互逆，所以，根据正弦函数的原形导函数为余切，我们又有余弦函数的原形导函数为正切因为微积分公式（即原函数与导函数）是互逆的，所以我们又有正切函数的积函数（积分公式）是余弦；余切函数的积函数（积分公式）是正弦。
5-3 独特的割线求导法
求正弦原形导数的方法有多种，但这里所要介绍的是本人所独创的一种独特方法。
根据现行高等数学，任何变量任意点的变化速度（导数），都等于该变量曲线该点的切线斜率。稍懂几何知识的人都知道，园弧的角度变化是均匀的。因此，如图六所示，在园弧上任取

图六：园弧割线与切线平行的示意图

一点p，它两侧的园弧都是对称的。因此，经该点p的园弧切线，与该点两侧园弧的角度变化也是对称的。这也就是说，该点两侧园弧的所有对称点、与该点切线的垂直距离都是相等的。即该点的切线与该点两则对称点的割线是平行的。换句话说，就是二者的斜率相同。因为园弧p点的切线斜率也就是园弧p点的导数，因此，园弧上任意两点的割线斜率都等于其中点的导数。这就使得我们可以以求割线斜率的办法来求正弦的原形导数。以本方法求正园弧的导数，有如下3方面的优点：
1 可以避开高等数学求导的困境，所谓的“极限”；
2 在计算数据带有测量或者舍入误差的情况下，可以通过选择距离较大的对称点进行计算来降低误差的引响。
3 在计算数据带有测量或者舍入误差的情况下，对于同一点的导数，我们可以根据不同的对称点计算出多个近似导数，以便进行校正。
其不足之处是，在计算0和180度的导数时，将出现分母为0的情况。好在这两点的导数为正负无穷大（也可以认为是没有导数），无须进行计算。
下面具体介绍这种方法，并列出一些点的计算值与余切表值的对比情况。
如图七所示，设我们要求正园弧上p点的导数。我们首先必须在p点的两侧选定p1、p2两个对称点。所谓对称，即是使 p1与p、p2与p之间的距离相等。即
。
如果是为了发挥上述2的优势，p1、p2之间的距离（即a+a）应尽可能的大，但不应超过180度（超过180度，p1、p2之间的距离反而会变小）。
确定了p1、p2两点之后，我们就可以开始求过p1、p2两点的割线（即图七右中三角形的斜边）斜率了。现在，我们乃按现行高等数学的习惯将p1、p2两点的横坐标之差（即图七右

左 右
图七：园弧求导示意图

中三角形的横边b）称之为；将p1、p2两点的纵坐标之差（即图七右中三角形的直边a）称之为。因此，p点的导数就等于。即
==
现在，我们不防设p点的角度为45°p1的角度为15°即
p1=p－30=45－30=15；
p2的角度为75°即
p2=p＋30=45＋30=75
于是：
= cos 15－cos 75=0.96592－0.25882=0.7071；
= sin 75－sin 15=0.96592－0.25882=0.7071。
因此，sin 45的导数为
===1。
答：正弦45°的导数为1（与余切45°的表值相符）。
下面再计算三例。
例题5-3-1：求sin 10°的导数？
解：
根据题意，p点的角度为10，根据计算的要求，我们将p点两侧的对称点p1、p2的角度确定为
10－10=0；
10＋10=20。
于是：
= cos 0－cos 20=1.00000－0.93969=0.06031；
= sin 20－sin 0=0.34202－0.00000=0.34202。
因此，sin 10°的导数为
===5.67103。
答：正弦10°的导数为5.67103（余切10°的表值为5.6713，误差0.000027，该误差只需分母有0.00000287的误差便可造成。所以，该误差没有超过舍入的误差范围）。
例题5-3-2：求sin 62°的导数？
解：
根据题意，p点的角度为62，根据计算的要求，我们将p点两侧的对称点p1、p2的角度确定为
62－22=40；
62＋22=84。
于是：
= cos 40－cos 84=0.76604－0.10453=0.66151；
= sin 84－sin 40=0.99452－0.64279=0.35173。
因此，sin 62°的导数
===0.53171。
答：正弦62°的导数为0.53171（与余切62°的表值相符）。
例题5-3-3：求sin 90°的导数？
解：
根据题意，p点的角度为90，根据计算的要求，我们将p点两侧的对称点p1、p2的角度确定为
90－90=0；
90＋90=180。
因为0～180°有两个90°的自变量，故：
= 2×cos 0－2×cos 90=2×1－2×0=2；
= sin 180－sin 0=0－0=0。
因此，sin 90°的导数
===0。
答：正弦90°的导数为0（与余切90°的表值相符）。
下面是按以上方法求得的一些正弦原形导数计算值与余切表值对照表。供读者审核时对比参考。

正弦原形导数计算值与余切表值对照表（1）
正弦度
0.5
1
1.5
2
2.5
3
计算值
116.33
57.213
38.204
28.590
22.874
19.075
余切表值
114.59
57.290
38.188
28.636
22.904
19.081
计算减表
1.74
-0.077
0.016
-0.046
-0.030
-0.006

表中计算值以p1为0°、p2依次以1、2、3、4、5、6°为计算依据求得。因为计算依据有舍入误差，加上p1、p2的差值太小，所以有较大的误差。以0.5°为例，虽然绝对误差达到1.74之多，但折算成的误差，却只有0.00000224…，完全在舍入可以造成的误差范围之内。
正弦原形导数计算值与余切表值对照表（2）
正弦度
30
31
32
33
34
35
计算值
1.7321
1.6643
1.6603
1.5399
1.4826
1.4281
余切表值
1.7320
1.6643
1.6003
1.5399
1.4826
1.4281
计算减表
0.0001
0
0
0
0
0

表中计算值以p1为0°、p2依次以60、62、64、66、68、70°为计算依据求得。

正弦原形导数计算值与余切表值对照表（3）
正弦度
40
41
42
43
44
45

计算值
1.1918
1.1504
1.1106
1.0724
1.0355
1
余切表值
1.1917
1.1504
1.1106
1.0724
1.0355
1
计算减表
0.0001
0
0
0
0
0

表中计算值以p1为0°、p2依次以80、82、84、86、88、90为计算依据求得。
正弦原形导数计算值与余切表值对照表（4）
正弦度
60
61
62
63
64
65
计算值
.57736
.55431
.53171
.50952
.48773
.46631
余切表值
.57735
.55431
.53171
.50952
.48773
.46631
计算减表
.00001
0
0
0
0
0
表中计算值以p1为40°、p2依次以80、82、84、86、88、90为计算依据求得。

正弦原形导数计算值与余切表值对照表（5）
正弦度
75
76
77
78
79
80
计算值
.26798
.24935
.23087
.21255
.19439
.17633
余切表值
.26795
.24933
.23087
.21256
.19438
.17633
计算减表
.00003
.00002
0
-.00001
.00001
0

表中计算值以p1为70°、p2依次以80、82、84、86、88、90为计算依据求得。计算该表中数字时，p1、 p2之差较之于表（2）、（3）、（4）要小一些，所以，其误差也相对要大一些。
5-4 正弦函数的变形及其导函数
三角函数是一种特殊的函数，它的自变量和因变量是两个不同性质的量。前者是角度量，而后者我们不防将其称之为线性量。当我们将该两种不同性质的量组成一个函数公式时，实际上，我们已经把前者也转换成了线性量。上一节我们说正弦函数的原形是一个正园形，实际上是按照园弧对应于横坐标（x

说明：单位为度。下图数字是以余弦表中的数字为根据标定的。
图四：正弦函数原形与变形自变量分布对照图

轴）的实际量来进行转换的（如图四的下图所示），这也就是我们将其称之为原形的原因。但是，数学上常是以每一度角在横坐标上的长度相等为原则来进行转换的（如图四的上图所示）。所以，一般的数学教材中，正弦函数的曲线图像并不是正园形，而是波浪形。这种转换相对于原形来说，是对正弦函数0～45度的自变量进行了不同程度的拉伸，而对45～90度的自变量进行了不同程度的压缩，这才使得每一度角的横坐标量都相等。所以，我们称正弦函数的波形图像为变形图像。对于变形图像的导函数，我们称之为正弦函数的变形导函数。这里应当特别指出的是，对于正弦函数的变形，还有一个变换比列的问题。稍加留意你就会发现，有的数学书把正弦波画得平缓，有的数学书把正弦波画得徒峻，这就是转换比例不同的原故。我们不防以正弦波的高度（正弦波90度时的纵坐标量）来度量这个比值，即
=转换比值。
下面图五是不同比值正弦波的图像。非常明显，转换的比值不

一：比值为0.5 二：比值为1

三：比值为2
图五：正弦波不同转换比值对照图

同，其导函数（即曲线各处的斜率）是决不会相同的。所以，现行高等数学一概而论，拢统的说正弦函数的导函数是余弦，这肯定是不正确的。经本人核算，当转换比值为1时，正弦函数的变形导函数约为余弦函数的1.57倍。即
≈1.57 cos x。
本人认为，数学上应当以1为标准比值。因此，本文后面的相关叙述，如未另加说明，都是针对标准比值而言的。在标准比值下，每一度角所对应的自变量为。另应说明的是，上述正弦函数变形导函数公式，是根据传统的5位数三角函数表计算出来的，该表除有舍入的误差外，还有可能存在大于舍入误差的误差，故我们的计算也就只能精确到上述程度。
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