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抽象代数简介

抽象代数课程是大学数学系的主干基础课之一。
抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。

定义
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

创始人及理论
被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。Galois群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
　　1843年，Hamilton发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。
1870年，Kronecker给出了有限Abel群的抽象定义；Dedekind开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；Dedekind和Kronecker创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。

抽象代数奠基人及理论
有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为"代数女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(Lie群)下不变式问题，给出Noether定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交换代数与交换算术。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换Noether环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给Dedekind环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。Noether的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927－1935年，Noether研究非交换代数与非交换算术。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的布饶尔群。最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。

1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的bool代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派；1955年，Cartan等建立了同调代数理论。

目前状况
到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，如其中最主要的Lie代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。

初学者应该如何学习抽象代数
一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。
为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。直到后来发现几个x可以抵消，才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。正如普通代数中忽略了数的已知与未知那样，抽象代数中忽略的则是具体数的差异，而集中考虑相应的位置与结构。
有的人总是想借助直观来理解抽象，但这对抽象代数的入门却是一个妨碍。还有回忆学习普通代数的情形，如果在学习普通代数的时候固执于用数值检验未知数x，并不能让你真正领会x的精神，只有直接用x来进行运算，才能在此基础上领会高级的直观。抽象代数的学习也需要领会相应的高级直观，这里的直观重在代数的结构，因此初学者就应该特别注意那些关于结构的定理。第一个结构定理大概就是同态基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。此后，一个非常自然的结构定理就是有限Abel结构定理，如果你能够依据此定理确定任意Abel群的结构，那么可以说你基本上已经算是入门了。此后，就可以考虑对付非Abel群的武器，最初级的武器共轭类，由此衍生出正规子群的概念，而更加深刻的武器则是Sylow定理。仅仅作为入门的话，能理解Sylow定理也应该算是足够了。
群的上面还有环、域、模等代数结构，这里只是简单提一下它们之间的关系。如果说群是青少年的话（半群就是儿童了）；那么环与域就是中年人，除了加法之外还增加了一个乘法；而模与向量空间则是老年人，它把环或域作为系数，自身还保留有类似群的加法。这里我要提醒一下，Abei群其实有着双重身份，它作为群的同时又是一个整数环Z上的模，不妨就管他叫老顽童吧。如果像群变环那样，在模上面再引入一个乘法会怎么样呢？也不知为什么，得到的东西就干脆的称为代数。
其实，只要能把注意把握结构，抽象代数的入门应该不是太困难，我甚至提议数学专业课是不是可以一开始就群论讲起，这可以促使学生尽早完成代数思维的转变。只要走过了这道门槛，后面还有更加丰富多彩的内容等着你们呢！
初学者最好先别考虑非交换环，其中有很多诡异的东西。

除环上多项式的根很有趣
最近读Lam的A First Course in Noncommutative Rings（非交换环初级教程），其中第16节讲（非交换）除环上的多项式，顿时让我眼前一亮，原来去掉交换条件之后，多项式根的分布会变得如此有趣。
  下面我就以实数域R上四元数除环D（由1，i，j，k生成）为例，简单说明一下多项式根分布的几种情形。选这样的除环主要的考虑它是（右）代数闭的，不会因为自身的（代数）封闭性而使得应有的根漏掉。当然，更一般的情形是实数闭域上的四元数除环，书中Niven与Jacobson的一个定理证明了它是代数闭的。
   先看一个简单的例子1，i，j，k显然都满足方程f(t)=t^2+1，这已经说明了在除环中代数基本定理失效！更值得注意的是，满足此方程的根有无穷多个。事实上，对任何i的共轭元都是方程的根：对任何a∈D，(aia^(-1))^2=ai^2a^(-1)=-1.
    如果认为非交换性会使得根变多的话，不妨看看下面的例子：g(t)=(t-j)(t-i).千万认为它有两个根j与i，其实只有i才是它的根，我们可以展开g(t)=t^2-(j+i)t+ji=0，得到g(j)=-1-(j+i)j+ji=-2k≠0！问题出在什么地方呢？请注意，作为除环上的多项式，未定元t与除环元素是可交换的，但t=j时，却有ti≠it.也就是说，涉及多项式的乘法运算时，我们不能像交换环那样直接代入。书中给出了一个代入法则，若p(t)=q(t)r(t)∈D(t),则r(d)≠0时，有p(d)=q(h(d)d(h(d))^(-1))r(d).由此可以看出，尽管q的根未必是p的根，但它却是与p的某个根共轭的。具体回到这个问题上，若多项式g有除i之外的根a，则a必与j共轭，重复上面的论证可得，a^2=-1,代回原方程消去二次项之后，只能有a=(j+i)^(-1)(ji-1)=i，因此多项式g(t)就只有一个根i！
    那么，是不是也可能恰好出现两个根呢？请看多项式h(t)=(t-(j-i))(t-i)，读者容易验证它的两个根是i与j+i（不是j-i，而是它的共轭元j+i！).这里恰好出现两个根的关键依然在于共轭，由于(j-i)^2≠-1，j-i并不与i共轭。书中给出Bray-Whaples的定理说明，如果n次多项式有n个两两不共轭的根，那么它们就是这个多项式的所有根。这样一来，多项式h(t)就只有这两个根。
    作为代数闭除环上的多项式，它至少应该存在一个根。书中给出的Gordon-Motzkin的定理，又说明了若除环上一个共轭类中若包含某多项式的两个根，则一定包含无数个根。这样的一来，上述的例子就穷尽了二次多项式F(t)=(t-a)(t-b)的所有可能根的情形：
    若a与b不共轭，则它有一个根b与另一个共轭于a的根；
    若a与b共轭，则它只有一个根或者有无数多个根。
按照上面f(t)与g(t）的分析可以知道，在a^2∈R的条件下，若a+b=0，则方程有无数根；若a+b≠0，则方程只有一根。而a^2不属于R的情况，还需要进一步的研究。

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