2017年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则中元素的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，
故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2，故选B.

2．设复数z满足，则（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题，，则，故选C.

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

4．的展开式中的系数为（）
A． B． C．40 D．80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为
，则的系数为40，故选C.

5．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②
由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.

6．设函数，则下列结论错误的是（）
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，D选项错误，故选D.

7．执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为（）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：

初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 2
第2次循环结束 90 1 3
此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，
则圆柱体体积，故选B.

9．等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.
则，即
又∵，代入上式可得
又∵，则
∴，故选A.

10．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，
∴
又∵，则上式可化简为
∵，可得，即
∴，故选A

11．已知函数有唯一零点，则（）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由条件，，得：

∴，即为的对称轴，
由题意，有唯一零点，
∴的零点只能为，
即，
解得．

12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设与切于点，连接．
以为原点，为轴正半轴，
为轴正半轴建立直角坐标系，
则点坐标为．
∵，．
∴．
∵切于点．
∴⊥．
∴是中斜边上的高．

即的半径为．
∵在上．
∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．
∵
∴，．
两式相加得：

(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y满足约束条件则的最小值为________．
【答案】
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为，则直线纵截距越大，值越小．
由图可知：在处取最小值，故．

14．设等比数列满足，，则________．
【答案】
【解析】为等比数列，设公比为．
，即，
显然，，
得，即，代入式可得，
．

15．设函数则满足的x的取值范围是________．

【答案】
【解析】，，即
由图象变换可画出与的图象如下：

由图可知，满足的解为.

16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与
，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最大值为．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，
故，，
斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．

以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，
为轴正方向建立空间直角坐标系．
则，，
直线的方向单位向量，．
点起始坐标为，
直线的方向单位向量，．
设点在运动过程中的坐标，
其中为与的夹角，．
那么在运动过程中的向量，．
设与所成夹角为，
则．
故，所以③正确，④错误．
设与所成夹角为，
.
当与夹角为时，即，
．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴，此时与夹角为．
∴②正确，①错误．

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求c；
（2）设为边上一点，且，求的面积．
【解析】（1）由得，
即，又，
∴，得.
由余弦定理.又∵代入并整理得，故.
（2）∵，
由余弦定理.
∵，即为直角三角形，
则，得.
由勾股定理.
又，则，
.

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温

天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？
【解析】⑴易知需求量可取

.
则分布列为：

⑵①当时：，此时，当时取到.
②当时：

此时，当时取到.
③当时，

此时.
④当时，易知一定小于③的情况.
综上所述：当时，取到最大值为.

19．（12分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．
（1）证明：平面平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．

【解析】⑴取中点为，连接，；
为等边三角形
∴
∴
.
∴,即为等腰直角三角形，
为直角又为底边中点
∴
令，则
易得：，
∴
由勾股定理的逆定理可得
即

又∵
由面面垂直的判定定理可得
⑵由题意可知
即,到平面的距离相等
即为中点
以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，
则，，，，
易得：，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，解得
，解得
若二面角为，易知为锐角，
则

20．（12分）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．

【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，
联立：得，
恒大于，，．

∴，即在圆上．
⑵若圆过点，则

化简得解得或
①当时，圆心为，
，，
半径
则圆
②当时，圆心为，
，，
半径
则圆

21．（12分）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解析】⑴ ，
则，且
当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；
当时，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
①若，在上单调递增∴当时矛盾
②若，在上单调递减∴当时矛盾
③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意
综上所述．
⑵ 当时即
则有当且仅当时等号成立
∴，
一方面：，
即．
另一方面：
当时，
∵，，
∴的最小值为．

22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为与C的交点，求M的极径．
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得：
即的轨迹方程为；
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是．

23．选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．
【解析】⑴可等价为.由可得：
①当时显然不满足题意；
②当时，，解得；
③当时，恒成立.综上，的解集为.
⑵不等式等价为，
令，则解集非空只需要.
而.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上，，故.