直线与圆能力提升.doc

专题一 直线与圆能力提升
【学习目标】
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦
长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．

【学习过程】
题型一 直线的方程及应用
例1 (1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是___________________．
(2)若直线x－y＝0 和直线x＋my＝0 互相垂直，则m=________．

思维升华 (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．

变式训练1已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y＝x＋1，则AC 所在的直线方程为______________．

题型二 圆的方程及应用
例2 (1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为____________________．
(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l1：x＝－2 的右侧，若圆M 截直线l1 所得的弦长为，且与直线l2：相切，则圆M的方程为______________________．

思维升华 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
变式训练2 (1)已知圆C：，过点A(－1,0)的直线l 与圆C 相交于P、Q 两点，若PQ＝，则直线l 的方程为______________________．
(2) 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C 的方程为________________．

题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y＝x－1 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(2)若圆C 上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．
变式训练3 (1)已知直线ax＋y－2＝0 与圆心为C 的圆相交于A，B 两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
(2)两个圆C1： (aR)与C2： (bR)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为________．

【课堂练习】
1．(2014·江苏) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为___________．
2．在直角坐标系xOy 中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足且在圆上的点的个数为________．

3．如果圆C：与圆O：总相交，则实数a 的取值范围是______________．

4．若圆 (>0)上有且只有两个点到直线x－y－2＝0 的距离为1，则实数r 的取值范围是__________________．

5．(2014·课标全国Ⅱ)设点，若在圆O：上存在点N，使得∠OMN＝45°，则 的取值范围是___________．

6．(2015·江苏)在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________________．

【课后作业】
一、填空题
1．直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0 和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0 互相垂直，则k＝________．

2．若P(2，－1)为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________．

3．若圆O：与圆C：关于直线l 对称，则直线l 的方程是_________________．

4．若直线y＝kx＋2k 与圆至少有一个交点，则m 的取值范围是_____________．

5．动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x＝－1 相切，若动圆C 与直线y＝x＋＋1 总有公共点，则圆C 面积的最小值为_____________．

6．设P 为直线3x＋4y＋3＝0 上的动点，过点P 作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB 的面积的最小值为________．

7．已知直线l1 与圆相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0 平行，则直线l1 的方程是_________________．

8．直线l1：y＝x＋a 和l2：y＝x＋b 将单位圆C：分成长度相等的四段弧，则____.

9．已知圆O：，直线l： ()．设圆O 上到直线l 的距离等于1 的点的个数为k，则k＝________.

10．已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k 是常数，M，N 是圆：上两个不同点，P 是圆上的动点，如果M，N 关于直线x－y－1＝0 对称，则△PAB 面积的最大值是________．

二、解答题
11．(1)求圆心在x 轴上，且与直线y＝x 相切于点(1,1)的圆的方程；
(2)已知圆C 过点P(1,1)，且与圆M： (r>0)关于直线x＋y＋2＝0 对称，
求圆C 的方程．

12．已知△ABC 的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H.
(1) 求圆H的方程；
(2) 若直线l 过点C，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程．

13．已知圆M 的方程为，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴交于E，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE，DO，DF 成等比数列，求的取值范围．

【课后作业】参考答案
1、－3 或1 2、x－y－3＝0 3、x－y＋2＝0 4、(4，＋∞) 5、4π
6、 7、3x＋4y－1＝0 或3x＋4y＋9＝0 8、2 9、4 10、
11、； 12、；x＝3 或4x－3y－6＝0
13、；
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