潜伏期具有传染性的SEIR模型的稳定性分析.pdf

收稿日期:2023-03-07;修订日期:2023-05-11作者简介:豆中丽(1981),女,硕士,讲师,主要从事常微分方程与动力系统研究。基金项目:重庆市教委科技创新项目(KJQN201902105)。第 41 卷 第 4 期2023 年 8 月江 西 科 学JIANGXI SCIENCEVol.41 No.4Aug.2023 doi:10.13990/j.issn1001-3679.2023.04.001潜伏期具有传染性的 SEIR 模型的稳定性分析豆 中 丽(重庆财经学院,401320,重庆)摘要:讨论潜伏期具有传染性的 SEIR 模型的稳定性,计算出决定疾病流行与否的基本再生数 R0,证明当 R0 1 时,地方病平衡点是全局渐近稳定的。关键词:潜伏期;地方病平衡点;稳定性;基本再生数 中图分类号:O175.13 文献标识码:A 文章编号:1001-3679(2023)04-619-02Stability of SEIR Model with Infectivity in Latent PeriodDOU Zhongli(Chongqing College of Finance and Economics,401320,Chongqing,PRC)Abstract:Discuss the stability of SEIR model with infectivity in latent period,and calculate the bas-ic reproductive number of epidemic or not.It is proved that,when R01,the endemic equilibrium is globally asymptotically stable at that time.Key words:incubation period;endemic equilibrium point;stability;basic reproductive number0 引言传染病对人类健康有很大的危害,与人类共存亡,利用传染病模型揭示流行规律已成为重要的研究热点1。有些传染病不仅在染病期能够传染,而且在潜伏期仍具有传染,研究这类传染病的发病原因及预测它们的流行规律具有很重要的价值。文献2研究具有垂直传染的捕食者-食饵模型,讨论系统平衡点的稳定性;文献3,4研究染病期和潜伏期均具有传染性的传染病模型,讨论模型在平衡点处的稳定性,本文在上述文献研究的基础上,讨论具有标准发生率的传染病模型,研究地方病平衡点的全局稳定性,构建如下传染病模型:dSdt=N-1EN+2IN()S-dS,dEdt=1EN+2IN()S-(d+)E,dIdt=E-(d+c+)I,dRdt=cI+E-dR.(1)其中,S(t),E(t),I(t),R(t)分别表示 t 时刻易感者、潜伏者、染病者和恢复者人群数量,N 表示总人口量,1EN+2IN()S 表示标准传染率,d 表示自然死亡率,表示潜伏者转化为染病者的转化率,表示潜伏者的恢复率,c 表示染病者的恢复率,表示因病死亡率,参数 d,c,为非负。由于模型(1)中前 3 个方程都不含 R,因此可以不考虑模型(1)中的第 4 个方程,令 x=SN,y=EN,z=IN,则模型(1)可以化简为:dxdt=1-1y+2z()x-dx,dydt=1y+2z()x-d+()y,dzdt=y-d+c+()z.(2)仅 在 模 型(2)的 正 向 不 变 集 D=(x,y,z)R3+,0?x+y+z?1d内,讨论模型的动力学性态。1 地方病平衡点的稳定性通过计算得到决定疾病流行与否基本再生数R0=1(d+c+)+2d(d+)(d+c+)和地方病平衡点p(x,y,z),x=(d+)(d+c+)1(d+c+)+2,y=1d+-d(d+c+)1(d+c+)+2,z=(d+)(d+c+)-d1(d+c+)+2。定理:当 R0 1 时,模型的地方病平衡点p(x,y,z)是全局渐近稳定的。证明:定义 Lyapunov 函数:L1(x,y,z)=xx-xd+yy-yd+d+zz-zd模型(2)沿着轨线求导得到L1=x-xxx+y-yyy+d+z-zzz=1-dx-(d+)(d+c+)z-(1-(1y+2z)x-dx)xx-yy(1y+2z)x-(d+)y)-d+zz(y-(d+c+)z)(3)因为 1=1xy+2xz+dx,1xy+2xz=(d+)y,y=(d+c+)z代入式(3)可得L1=1xy+2xz+dx-dx-zz(1xy+2xz)-xx(1xy+2xz+dx)+1xy+2xz+dx-1xy-yy2xz+21xy+22xz-zyzy1xy-zyzy2xz=dx(2-xx-xx)+1xy(3-zz-zyzy-yy)+2xz(3-xx-zyzy-xzyxzy)当 R0 1 时,由数的算术平均值不小于其几何平均值的结论得到:2-xx-xx 0,3-zz-zyzy-yy 0,3-xx-zyzy-xzyxzy 1 时,地方病平衡点是全局渐近稳定,传染病模型中染病者的数量将会趋于稳定,传染病不会消失而是形成地方病与人类共存。参考文献:1 马知恩,周义仓,李承治.常微分方程定性与稳定性方法M.北京:科学出版社,2015.2刘宣亮,熊艳.一类食饵有传染病的捕食者-食饵模型的动力学分析J.北华大学学报(自然科学版),2020,21(3):281-289.3ZHANG Y,REN Z Z.Global stability of the SEIS epi-demic model with infectivity in both latent period and infected periodJ.Journal of Northwest Normal Uni-versiy(Natural Science),2014,50(5):7-10.4米晓丽,王鑫.一类潜伏期和染病期均传染的 SEIR传染病模型的稳定性研究J.山西师范大学学报(自然科学版),2016,30(3):12-14.026江 西 科 学2023 年第 41 卷