第六讲直线与方程.doc

第六讲 直线与方程
一、基础知识梳理
知识点1：直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为
（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=tan注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=900时， k不存在）
（3）过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：
k=tan（当x1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900）.
知识点2：直线的方程
名称
方程
已知条件
局限性
斜截式
y=kx+b
k——斜率
b——纵截距
斜率必须存在
点斜式
y-y0=k(x-x0)
(x0，y0)——直线上
已知点，k——斜率
斜率必须存在
两点式
=
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点

截距式
+=1
a——直线的横截距
b——直线的纵截距

一般式
Ax+By+C=0
，，分别为斜率、横截距和纵截距

A、B不能同时为零
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
二、易错知识梳理
1、忽视截距为零
【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
2、忽视与x轴平行的情况
【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b），求直线方程.
3、忽视斜率不存在的情况
【易错题3】已知直线过点P（1,2）且与以A(-2,-3)、B（3,0）为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围.
三、考点类型剖析
题型一 斜率与倾斜角的关系
例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数
a的取值范围为
归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. ，，
，；.
题型二 三点共线问题
例2.已知a>0，若平面内三点A（1,-a），B（2, ），C（3, ）共线，则a=
题型三 待定系数法求直线方程
例3.一条直线过点A（-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程.

题型四 直线方程的应用问题
例4、如右图所示一条光线从点A（3,2）发出，经x轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程.

变式训练：已知点A(2,5)与点B(4，-7)，试在y轴上求一点P,使得的值最小.

四、知能达标训练
基础训练
1、过点P(－2, m)和Q(m, 4)的直线斜率等于1，那么m的值等于 （ ）
A、1或3 B、4 C、1 D、1或4
2、在直角坐标系中，直线y= -x+1的倾斜角为（ ）
A、 B、- C、 D、-
3、过点(-3, 0)和点(-4,)的倾斜角是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、如图，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则有（ ）
A、k1斜率分别是（ ）
A． B． C．，不存在 D．，不存在
6、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）
A、ab>0，bc>0 B、ab>0，bc<0 C、 ab<0，bc>0 D、 ab<0，bc<0
答案：CADDC D
综合训练
1．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的
斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线若与关于轴对称，则的方程为___________________;
若与关于轴对称，则的方程为___________________;若与关于对称，则的方程为________________;
两直线的位置关系
一、 基础知识梳理
知识点1：两条直线平行
（1）两条不重合的直线 ，若，则.特别地，当 斜率都不存在时，两直线也平行.

（2）已知直线的方程为，，若，则有，且或
知识点2：两直线垂直
（1）如果两直线的斜率都存在，分别为，则
（2）已知直线的方程为，，若，则有，反之亦然。
特别地，当一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，两直线垂直.
知识点3：两直线的交点
设两直线分别为,,两直线的交点坐标即是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.
知识点3：几种距离
（1） 两点间的距离
平面上的两点间的距离公式
特别地，原点（0,0）与任一点P（x,y）的距离.
（2） 点到直线的距离
点到直线的距离d= .
（3） 两平行线间的距离
两条平行线间的距离d=
知识点4：直线系方程
（1）过点P（）的直线系方程为
（2）和已知直线平行的直线系方程为（）
（3）和已知直线垂直的直线系方程为：
（4）经过两相交直线和的交点的直线系方程为（这个直线系中不包括直线）.
知识点5：对称问题
（1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组

可得到点关于对称的点的坐标（其中）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
二、 易错知识梳理
1、 在直线一般式中忽视不同时为零
【易错题1】已知直线（），问m为何值时，？
2、 运用两平行直线的距离公式时，忽视x,y的系数分别相等.
【易错题2】已知两平行直线，求与距离相等的直线方程.
三、 考题类型剖析
题型一 求两直线交点
例1、 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求其交点的坐标：
（1）
（2）
（3）.
题型二 与平行有关的问题
例2、求过点且与直线平行的直线方程．

变式训练1求直线关于点对称的直线方程

题型三 与垂直有关的问题
例3、求过点，且与直线垂直的直线的方程.

变式训练：当a为何值时，直线与直线互相垂直？

题型四 距离问题
例2、 正方形的中心为M(-1,0),一条边所在的直线方程为，试求其他三边所在的直线方程.

题型五 综合问题
例6.□中，已知三顶点坐标，则顶点的坐标 。

例7.中，边上的高所在直线的方程为，∠的平分线所在直线方程为，若点的坐标为(1,2).求点和的坐标.

例8.中，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线方程为，求、、所在直线的方程.