高考复习方法指导--高中数学知识点总结.doc

贵阳市中考高考数理化辅导 电话：5824859 高中数学知识点总结
高考复习方法指导--高中数学知识点总结
1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：集合中元素各表示什么？
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合，若，则实数的值构成的集合为 答： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3．注意下列性质：
（1）集合的所有子集的个数是
（2）若
4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。
5．可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（）、“且”（）和“非”（）
若为真，当且仅当均为真
若为真，当且仅当至少有一个为真
若为真，当且仅当为假
6．命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7．对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）
9．求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数的定义域是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答：
10．如何求复合函数的定义域？
如：函数的定义域是，，则函数的定义域是_____________。答：
11．求一个函数的解析式数时，注明函数的定义域了吗？
如：，求
令，则，∴，∴，
∴
12．如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（外层），（内层），则
当内、外层函数单调性相同时，为增函数，否则为减函数
如：求的单调区间。
设，由，则且，，如图
当时，，又，∴
当时，，又，∴
∴……）
13．如何利用导数判断函数的单调性？
在区间内，若总有，则为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？
如：已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是
A．0 B．1 C．2 D．3
令，则或，
由已知在上是增函数，则，即，∴的最大值为3
14．函数具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图像关于原点对称
若总成立为偶函数函数图像关于轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若是奇函数且定义域中有原点，则
如：若为奇函数，则实数
∵为奇函数，，又，∴，即，∴
又如：为定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式。
令，则，
又为奇函数，∴
又，∴
15．你熟悉周期函数的定义吗？
若存在实数，在定义域内总有，则为周期函数，T是一个周期。如：若，则 答： 为的一个周期。
又如：若图像有两条对称轴，即，，则是周期函数，为一个周期
如图：
16．你掌握常用的图象变换了吗？
与的图像关于轴对称
与的图像关于轴对称
与的图像关于原点对称
将图像
注意如下“翻折”变换：
如：
作出及的图像
17．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（1）
（2）反比例函数：推广为是中心的双曲线。
（3）二次函数的图像为抛物线
顶点坐标为，对称轴
开口方向：，向上，函数
，向下，
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程，时，两根为二次函数的图像与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程的两根都大于，一根大于，一根小于
（4）指数函数：
（5）对数函数：
由图象记性质！（注意底数的限定！）
（6）“对勾函数”
18．你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：，，，
对数运算：

对数恒等式：；对数换底公式：
19．如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）
如：（1），满足，证明为奇函数。
先令，再令
（2），满足，证明为偶函数。
先令，∴，
∴
（3）证明单调性：
20．掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），换元法，均值定理法，利用函数单调性法，导数法等。）
21．你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

22．熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

如：若，则的大小顺序是
又如：求函数的定义域和值域。
∵，∴
∴
25．你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

对称点为
的增区间为，减区间为，图像的对称点为，对称轴为
的增区间为，减区间为，图像的对称点为，对称轴为
的增区间为
23．正弦型函数的图像和性质要熟记。（或）
（1）振幅，周期
若，则为对称轴；若，则为对称点，反之也对
（2）五点作图：令依次为，求出与，依点（，）作图象。
（3）根据图像求解析式。（求值）
正切型函数
24．在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
如：，求值。
∵，∴，∴，∴
25．在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：函数的值域是
时，，时，，∴
26．熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）
如：函数的图像经过怎样的变换才能得到的图象？

27．熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
如： 称为1的代换。
“”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
28．熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：

，
，

；
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
（1）角的变换：如
（2）名的变换：化弦或化切；（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
如：已知，，求的值。
由已知得：，∴
又，
∴
29．正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
余弦定理：
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
正弦定理：

∵，∴，∴
如：中，
（1）求角；（2）若，求的值
（1）由已知得
又，∴，∴或（舍）
又，∴
（2）由正弦定理及得
，∴
30．不等式的性质有哪些？
（1）；（2）
（3）
（4）
（5）
（6）或
如：若，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
答案：C
31．利用均值不等式：
求最值时，你是否注意到“”且“等号成立”时的条件，积（）和（）其中之一为定值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
，当且仅当时等号成立
如：若的最大值为
设，当且仅当成立，
又，∴时，
又如：，则的最小值为
∵，∴最小值为
32．不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法等）
并注意简单放缩法的应用。
如：证明

33．解分式不等式的一般步骤是什么？
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
34．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：
35．解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：对数或指数的底分或讨论
36．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：恒成立的最小值
恒成立的最大值
能成立的最小值
37．等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列；（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，为前项和，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当，解不等式组可得达到最大值时的值。
当，由可得达到最小值时的值。
38．等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），
等比中项：成等比数列，或
前项和：（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列
39．由求时应注意什么？
时，，时，
40．你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
如：数列，，求
解：时，，∴ ①
时， ②
①—②得：，∴，∴
［练习］数列满足，求
注意到，代入得；又，∴是等比数列，
时，
（2）叠乘法： 如：数列中，，求
解：，∴又，∴
（3）等差型递推公式
由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
［练习］数列中，，求（）
（4）等比型递推公式
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
（5）倒数法：如：，求
由已知得：，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
∴
42．你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴

［练习］求和：

（2）错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比。
如： ①
②
①—②
时，，时，
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
相加
［练习］已知，则
由
∴原式
43．你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
等差问题
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

∴ p——贷款数，r——利率，n——还款期数
44．你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件，不可能事件
（2）包含关系：，“发生必导致发生”称包含

（3）事件的和（并）：或，“与至少有一个发生”叫做与的和（并）。

（6）对立事件（互逆事件）：，“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件

45．对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
（2）若互斥，则（3）
46．对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（1）算数据极差（2）决定组距和组数；（3）决定分点；
（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。
其中，频率=小长方形的面积=组距×
样本平均值：
样本方差：
47．你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
（2）向量的模——有向线段的长度，
（3）单位向量（4）零向量
（5）相等的向量，在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。
存在唯一实数，使
（7）向量的加、减法如图：

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对，使得叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
（9）向量的坐标表示

是一对相互垂直的单位向量，则有且只有一对实数，使得，称为向量的坐标，记作：，即为向量的坐标表示。
设，则

若，则，
，两点距离公式
48．平面向量的数量积
（1）叫做向量与的数量积（或内积），为向量与的夹角，

数量积的几何意义：等于与在的方向上的射影的乘积
（2）数量积的运算法则
①②
③
注意：数量积不满足结合律
（3）重要性质：设
①
②或（，唯一确定）

③
④
［练习］
（1）已知正方形，边长为1，，则
答案：
为线段中点时，
如：
则重心的坐标是
※．你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
49．立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线面平行的判定：

线面平行的性质：
线面垂直：

面面垂直：，

50．球有哪些性质？
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（4）
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为
A． B． C． D．
答案：A
51．熟记下列公式了吗？
（1）直线的倾斜角，，是上两点，直线的方向向量
（2）直线方程：点斜式：（存在）
斜截式：截距式：
一般式：（不同时为零）
（3）点到直线：的距离
（4）到的到角公式：；与的夹角公式：
52．如何判断两直线平行、垂直？
，（反之不一定成立）
，
53．怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
54．怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组关于（或）的一元二次方程“”
相交；相切；相离
55．分清圆锥曲线的定义
第一定义
第二定义：
椭圆；双曲线；抛物线

56．与双曲线有相同焦点的双曲线系为
57．在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）
弦长公式
58．会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
，通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
59．有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
如：椭圆与直线交于两点，原点与中点连线的斜率为，则的值为 答案：
60．如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。
由，只要证明也在曲线上，即
（2）点关于直线对称
61．圆的参数方程为（为参数）
椭圆的参数方程为（为参数）
62．求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
直接法、定义法、代人法、参数法
63．对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

基础+综合+提高=能力闯关 21 备考方略+考场心理+指点迷津=超越自我