巧用简谐运动中的对称性解题.doc

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巧用简谐运动中的对称性解题
陶成龙

做简谐运动的物体其运动具有对称性，因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性，若能灵活运用这一点来解决简谐运动问题，常能收到出奇制胜的效果。下面举例说明，以供同学们参考。

1. 巧用时间的对称性
例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O出发向最大位移A处运动过程中经0.15s第一次通过M点，再经0.1s第2次通过M点。则此后还要经多长时间第3次通过M点，该质点振动的频率为多大？

图1
解析：由于质点从M→A和从A→M的时间是对称的，结合题设条件可知M→A所需时间为0.05s，所以质点从平衡位置O→A的时间为
，又因为，所以质点的振动周期为T＝0.8s，频率。
根据时间的对称性可知M→O与O→M所需时间相等为0.15s，所以质点第3次通过M点所需时间为

2. 巧用加速度的对称性
例2. 如图2所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度a和重力加速度g的大小。

图2
解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图2所示，点B为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的大小相等的位置O为平衡位置。点A为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点A'为与A对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点A和点A'的加速度的大小相等，设为a，小球在点B的加速度为g，由图点B在点A'和点O之间，所以。

例3. 如图3所示，质量为m的物体放在质量为M的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为A，运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，当m运动到最低点时，求m的加速度。

图3
解析：我们容易证明，物体m在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点时对M的压力为零，即知道物体m在运动到最高点时的加速度为g，由简谐运动的对称性知道，物体m运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为g，方向竖直向上。

例4. 如图4所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P。当系统上下振动时，欲使P、B始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？

图4
解析：从简谐运动的角度看，木板B和物块P的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即，由以上两式可解为。当P和B在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B分离的位置一定在上方最大位移处，且P和B一起运动的最大加速度。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式，即得。

3. 巧用速度的对称性
例5. 如图5所示是一水平弹簧振子在5s内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。

图5
解析：由速度的对称性可知，图5中与0.5s具有相同速率的时刻为1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。结合动能定理可知，从0.5s到以上时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。

4. 巧用回复力的对称性
例6. 如图6所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ ）

图6
A. Mg B.
C. D.
解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对A的弹力为，所以A受到向上的合外力（回复力）为mg。当A运动到上方最大位移处时，由于简谐运动的回复力的对称性，A将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为mg，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为Mg。选项A正确。

例7. 如图7所示，质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是______________；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过______________。

图7
分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力的合力大小为0.5mg，方向向上，充当回复力。根据力大小的对称性可知，物体振动到最高点时，回复力大小也应为0.5mg，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为0.5mg，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为0.5mg；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力F＝可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅A就可恢复到原长，所以欲使物体不离开弹簧，其振幅不能超过2A。

例8. 如图8，用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量为m的木板B连接组成如图所示的装置，B板置于水平地面上，现用一竖直向下的力F向下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面，由此可知力F的大小是（ ）

图8
A. 7mg B. 4mg
C. 3mg D. 2mg
解析：没撤去力F时，物体A静止，所受合力为零，把力F撤去，物体A受合力大小为F，方向向上，开始向上振动所以最大回复力为F，根据力大小的对称性，A振动到最高点时，回复力大小也为F，对物体A在最高点进行受力分析：重力3mg和弹簧的弹力F'，合力为F。即；再对物体B进行受力分析，B恰好被提离地面可得：，所以力F的大小为4mg。选项B正确。

5. 巧用能量的对称性
例9. 如图9－1，原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面，质量为m＝0.1kg的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm。如果物体从距地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面22cm时（不计空气阻力，取g＝10m/s2）有：

图9-1 图9-2
A. 物体的动能为1J；
B. 物块的重力势能为1.08J
C. 弹簧的弹性势能为0.08J
D. 物块的动能与重力势能之和为2.16J
解析：由题设条件画出示意图9－2，物体距地面26cm时的位置O即为物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面22cm时A'位置的动能与距地面30cm时A位置的动能相等。因此只需求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得。物体从A到A'的过程中弹性势能的增加为，所以选项A、C正确。
可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简捷明了，达到事半功倍的效果。

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