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第5讲 分类讨论思想
A 【专题精讲】
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
1、分类的原则：
（1）分类中的每一部分是相互独立的；
（2）一次分类按一个标准；
（3）分类讨论应逐级进行．
2、常见的题型：
①等腰三角形中边角问题，以及取点构成等腰三角形问题
②分段函数
③动点问题
A 【典例精析】
例1、①等腰三角形的两边为7、6，则三角形的周长为 ；
②三角形有一个角是80°，而且有两个角相等，则另外两个角是 。
A 【巩固演练】
1、已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18
2、 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．
3、已知两圆的半径分别是5㎝和6㎝，且两圆相切，则圆心距是 。
4、公民的月收入超过1000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在500元以内(含500元)时税率为5%，那么公民每月所纳税款y(元)与月收入x(元)之间的函数关系式是 ，自变量取值范围是 ．某人月收人为1360元，则该人每月应纳税 元．
5、若不等式组无解，则m的取值范围是 。
6、如图1，抛物线y＝－x 2＋x＋3与x轴交于A、C两点（A点在C点的左边），与y轴交于B点，与直线y＝kx＋b交于A、D两点．
（1）直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式；
-1
图2
图1
O
A
B
x
y
C
D(5,-2)
（2）如图2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字－1、1、3、4．随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标．则点P（m，n）落在图1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？

7、如图①，在6×12的方格纸MNEF中，每个小正方形的边长都是1．Rt△ABC的顶点C与N重合，两直角边AC、BC分别在MN、NE上，且AC＝3，BC＝2．现Rt△ABC以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B移动至点E时，Rt△ABC停止移动．
（1）请你在答题卡所附的6×12的方格纸①中，画出Rt△ABC向右平移4秒时所在的图形；
（2）如图②，在Rt△ABC向右平移的过程中，△ABF能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t；如果不能，请简要说明理由；
A
B
(C)
图①
E
F
M
N
（3）如图②，在Rt△ABC向右平移的过程中（不包括平移的开始与结束时刻），某外接圆与直线AF、直线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t的范围（不必说理）．

A
B
图②
E
F
M
N
C

8、已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
图（1）
C
B
A
D
F
(E)
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供做题时使用）

图（2）
C
B
A
D
F
P
Q
E

图（3）
C
B
A

9、如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（0，4）、B（－2，0），C（6，0）三点，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，－2）．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；
（2）动点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）设经过点F的直线y＝mx＋n与抛物线交于G、H两点，若∠GAH为锐角，求m的取值范围；
y
x
D
B
A
O
C
E
F
M
（4）在抛物线上是否存在点N，使得以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

y
x
D
B
A
O
C
E
F
M
备用图

10、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
A
B
C
D
（备用图1）
A
B
C
D
（备用图2）
Q
A
B
C
D
l
M
P
（第24题）
E
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

11、如图1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
（2）操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图2）．
①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．
A
F
G
(D)B
C(E)
图1

F
G
A

B
D
C
E
图2

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