1、1、设有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于E。
证明：因为 在上可测，由鲁津定理是，对任何正整数，存在的可测子集，使得， 同时存在定义在上的连续函数，使得当时，有所以对任意的，成立由此可得，因此即，由黎斯定理存在的子列，使得，于E
2、设上的连续函数，为上的可测函数，则是可测函数。
证明：记，由于在上连续，故对任意实数是直线上的开集，设，其中是其构成区间（可能是有限个，可能为可有为）因此因为在上可测，因此都可测。故可测。
3、设是上的实值连续函数，则对于任意常数，是一开集，而总是一闭集。
证明：若，因为是连续的，所以存在，使任意，
， 即任意是开集若且，由于连续
2、
即，因此E是闭集。
4、（1）设求出集列的上限集和下限集
证明：设，则存在N，使，因此时，，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，
又显然若有，则存在N，使任意，有，因此若时，
，此不可能，所以
（2）可数点集的外测度为零。
证明：证明：设对任意，存在开区间，使，且所以，且，由的任意性得
5、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。
证： 显然，的收敛点集可表示为
=.
由可测及都可测，所以在上可测。
从而，对任一自然数，可测。故
可测。既然收敛点集可测，那么发散
3、点集也可测。
6、设，存在两侧两列可测集{}， {},使得 且（-）→0，（n→∝）则可测.
证明：对于任意， ，所以
又因为 ，
所以对于任意，
令→∝ ，由→0 得所以是可测的又由于可测，有也是可测的所以是可测的。
7、设在上，而成立，，则有
设，则。
所以
因为，所以
即
8、证明：。
证明：因为，，所以，，，从而
反之，对任意，即对任意，有
为无限集，
从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，，。综上所述，。
9、证明：若，（），则于。
证明：由于，而
，
所以，
，
由，（）得
，。
所以，，从而，即于。
10
4、证明：若，（），则（）。
证明：对任意，由于
，
所以，由可得，
和至少有一个成立。
从而
，
所以，
。
又由，（）得，
，。
所以，
，即（）。
11、若（），则（）。
证明：因为，所以，对任意，有
，
。
又由（）得，。所以，
，即（）。
12、证明：上的连续函数必为可测函数。
证明：设是上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数，是开集，从而是可测集。所以，是上的可测函数。
13、证明：上的单调函数必为可测函数。
证明：不妨设是上的单调递增函数，对任意实数，记，由单调函数的特点得，当时，，显然是可测集；当时，，也显然是可测集。故
5、是上的可测函数。
14、设，是的可测子集，且，若，则。
证明：因为是的可测子集，且，所以，，从而由得，。又，由积分的绝对连续性，。
15、设，若对任意有界可测函数都有，则于。
证明：由题设，取，显然为上的有界可测函数，从而。所以，于，即于。
16、设，，证明（1）；（2）。
证明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由积分的绝对连续性得，，从而注意到
，
所以，。
17、若是上的单调函数，则是上的有界变差函数，且
。
证明：不妨设是上的单调增函数，任取的一个分割
则
，
所以，。
18、若在上满足：存在正常数，使得对任意，
6、都有
，
则 （1）是上的有界变差函数，且；
（2）是上的绝对连续函数。
证明：（1）由题设，任取的一个分割
则
，
所以，是上的有界变差函数，且。
（2）在内，任取有限个互不相交的开区间，。由于
，
于是，对任意，取，则当时，有
，
即是上的绝对连续函数。
19、若是上的绝对连续函数，则是上的有界变差函数。
证明：由是上的绝对连续函数，取，存在，对任意有限个互不相交的开区间，，只要时，有。
现将等分，记分点为，使得每一等份的长度小于。易得，即是上的有界变差函数。又，
所以，，即是上的有界变差函数。
20、若是上的有界变差函数，则
（1）全变差函数是上的递增函数；
（2）也是上的递增函数。
证明：（1）对任意，，注意到，有
，
即是上的递增函数。
（2）对任意，，注意到，有
，
即是上的递增函数。
21、证明Jordan分解定理：是上的有界变差函数可表示成上的两个增函数之差。
证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。
事实上，，由上题和都是上的递增函数。
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
