从图形的角度看二元一次方程(组).docx

课题
从图形的角度看二元一次方程（组）
教师
郑玮
班级
七（8）
教
材
分
析
本节“数学活动”课，是人教版《义务教育教科书》数学七年级下册第八章《二元一次方程组》的一节活动课.他们在七年级下册第七章已经学习了平面直角坐标系的知识，知道有序实数对与平面直角坐标系里的点一一对应，利用这个知识去解决如何在一个平面里确定和区别点的位置，初步接触了数形结合的思想.但它还不能解决一些把代数转化成几何的问题.而这节课通过把二元一次方程在平面直角坐标系转化成一条直线，让学生认识二元一次方程的几何意义，具体接触到了数形结合的思想，为以后学习函数奠定了基础.
教
学

理
念
以《新课标》为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合七年级学生活泼好动、思维灵敏，但思考问题不全面的心理特点和已有的认知水平开展教学.主要采用的是启发式教学法.让学生参与教学过程，注重培养学生的建构习惯，提高学生的数学素质.采用了“问题情境—探索新知—解读探究、应用与拓展”的教学模式，使学生经历二元一次方程转换成直线的探索与应用的过程，从而更好地理解数形结合的思想，掌握必要的基础知识和基本技能.
教
学
目
标
1、把二元一次方程转化成图形，画图发现二元一次方程的图形是一条直线，了解二元一次方程图形的定义，感受数形统一的奇妙；
2、能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况，并能从图形中读出二元一次方程组的解，体验从图形角度解释代数问题的直观性和数学思维的理性之美；
3、尝试结合背景提出有价值的问题，初步增强提问意识和创新意识．
学
情
分
析
七（8）班有学生32人，大部分同学学习习惯良好，学习积极性高，有一定地独立思考和独立完成学习任务的能力，在平时的数学学习过程中，他们表现出了对数学浓厚的兴趣，以及培养了主动思考、善于表达的能力.
重点
能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况，并能从图形中读出二元一次方程组的解，体验从图形角度解释代数问题的直观性和数学思维的理性之美．
难点
1、把二元一次方程方程转化成图形；
2、能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况：同一平面中两条直线相交、平行和重合分别对应二元一次方程组有唯一解、无解和无数解．
3、尝试结合背景提出有价值的问题，初步增强提问意识和创新意识．
关键
在情境中感悟有序数对与点的一一对应是数形结合的根本，突破难点1；有足够的思维时空、在思维碰撞中用心领悟，突破难点2；扑捉课堂学习过程中的灵感、受他人提出的问题的启发，突破难点3．
独立思考、在交流中感悟、并对比已知方程组的解与其对应的两直线的交点坐标，突出重点．
教学过程设计

教学环节
教师内容
师生活动
设计意图

微课
设计
问题1：请在同一平面直角坐标系中，描出下面两组各点，并将每一组的各点用线段首尾顺次连接起来.
（1）（4，1），（4，5），（2，5） ,
（2，1）.
（2）（2, 3）， （4, 3 ) .
将会出现什么图形？
问题2：有序数对对应着点，二元一次方程是否对应着某个图形呢？若是，它对应着什么图形呢？
教师引导；
有序数对 点

二元一次方程 ？ 图形

以二元一次方程𝒙−𝒚=𝟎为例，怎样把二元一次方程𝒙−𝒚=𝟎转化为图形呢？

有序数对 点

𝒙−𝒚=𝟎 ？ 图形

进一步引导：
你有想到，把二元一次方程𝒙−𝒚=𝟎的解看成有序数对会怎么样呢？
课前作业：
1、请你在课堂前测的平面直角坐标系中画出二元一次方程𝒙−𝒚=𝟎对应的图形.你会有什么发现？
2、你可以任选一个二元一次方程，画出它的图形，来验证你的发现.
3、开动你聪慧的大脑，你能否尝试从图形的角度来解释二元一次方程组解的情况呢？
我们的好帮手： 几何画板
如何建立直角坐标系，如何取点，如何构造线

教师借助几何画板描点、连线，并提出问题.

学生思考，探索，寻找两者的联系。

学生动手实践，把二元一次方程的一个解规定顺序（x值在前，y值在后，这个解就转化成一个坐标，对应着平面直角坐标系的一个点）

几何画板的简单介绍和应用，为本节课几何画板的演示奠定基础,
复习旧知，知道有序实数与平面直角坐标系上的点一一对应，让学生们很快进入有目的的探究状态.

实现由局部到总体的转化，为下面二元一次方程转化成图形做铺垫.

通过幻灯片的展示，激发学生兴趣.让学生更加具体认识到解到坐标的转化思想和过程

设计问题串，引导学生追随思考.

学生都熟悉几何画板的存在，教会他们简单的操作，应用于本节课.激发他们的兴趣，热情的在课前通过几何画板来探究他们的课前作业,并在其中，感受数学与信息技术相结合的魅力，为以后的数学学习提供了一个很好的辅助平台.

课
堂
设
计

<一>、展示课前作业，探究出二元一次方程的图形是一条直线.
问题1、二元一次方程𝒙−𝒚=𝟎的图形是怎样的呢？

x
…

…
y=x
…

…

问题2、你另选的二元一次方程是什么？你做出它的图形了么？请你演示出你的画图过程.

问题3、你能总结归纳出二元一次方程的图形是怎样的图形么？
方程 x-y=0 的图形是过原点的一条直线．
借助几何画板验证二元一次方程的图形是一条直线.

总结：一般地，任何一个二元一次方程的图形都是一条直线.

〈二〉从图形的角度解释二元一次方程组解的情况
（1） 能否用图形法求出二元一次方程组的解？

（2）在同一平面直角坐标系中，能否用图形法求出二元一次方程组

的解？

小组讨论，有思路的请举手示意.
想一想，我们需要描至少几个点

适时引导：由这两个二元一次方程的图形，能得出二元一次方程组

的解吗？
（4）验证这个二元一次方程组的解.
（5）对于二元一次方程组的解，你可以从一个新的角度加以描述吗？
总结：二元一次方程组的解对应它们图形的交点的坐标.
（6）方程组

的解唯一吗？为什么？
唯一．因为两条直线相交只有一个交点．
（7）通过解二元一次方程组，我们发现了二元一次方程组的解有三种情况：唯一解、无数解和无解．二元一次方程组的解会有第四种情况吗？比如：一个二元一次方程组有2个解或3个解等情况吗？为什么？
二元一次方程组的解不会有第四种情况？只有三种情况：唯一解、无数解和无解．因为同一平面内两条直线的位置关系只有相交、重合和平行三种情况．

点评课前作业完成情况，列举出现的几种探究结果.

请学生动手操作，然后展示自己的成果.对每个学生发言给予评价.在这个互动过程中探究出：方程的解对应过原点的一条直线，因此方程的图形是过原点的一条直线.

．

学生通过小组讨论、思考、探索。学生动手操作，然后展示自己的成果．

学生动手操作，然后自己归纳概括出：二元一次方程组的解对应它们图形的交点的坐标.

学生独立完成

能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况，体验从图形角度解释代数问题的直观性和数学思维的理性之美．

熟悉二元一次方程的解到坐标的转化思想，为这节课的学习找到突破口.

初步产生数转化成形的思想和方法.为下面图形法解二元一次方程组打下基础.

增强学生的动手能力、分析能力，通过自己在同一直角坐标系画出二元一次方程组对应的两条直线，它们相交于一点，学生结合交点及其坐标的特性对比二元一次方程组的解的特性，认真分析，达到数形结合思想的突破.

得出最终结论：二元一次方程组还可以用图形法去解.

培养学生的应用能力，进一步掌握图形法解二元一次方程组的思想和方法

全面的考虑到二元一次方程组解的情况对应图形的特点，揭示它们的几何意义.使得本节课的学习更加深入彻底.

应用新知 解决问题
例1、关于x，y的方程和4x+by=-7的图形如图所示，则关于x，y的方程组，4x+by=-7的解是__________，
a=_________，b=_________．

答案： =2，b=﹣1．

学生独立思考完成，教师组织交流．

能从图形中读出二元一次方程组的解．

课
堂
小
结

1、请给出本节课的课题，并简要说明理由；
2、谈谈本节课你最深刻的一点体会；
3、我们从图形的角度直观地理解了二元一次方程组解的三种情况，感受到了数与形完美的统一．结合这一点，提出你好奇的一个问题．

概括主旨，提升认识，尝试提问．

在小结中提升．

布
置
作
业
1、用图形法求出下列方程组的解：
1 x+y=5，x+y=6． 2 x+y=5，2x+2y=10； (3) x+y=5，x+2y=9；

2、发挥你的想象，你认为从图形的角度如何解释三元一次方程的解以及三元一次方程组的解的情况了？
例如：三元一次方程x+y+z=1的图形在空间直角坐标系中是一个平面.

三元一次方程的图形是一个平面，有唯一解的三元一次方程组是取三个平面相交的部分，其中两个平面相交于一条直线，另一个平面再与其相交，便取得唯一的交点.此题的设计意图是，给学生大胆想象大胆猜想的平台，激发他们对数学魅力的无限追逐.