群同态与逆同态的几点探究--数学与应用数学学士学位论文.doc

分类号 O152
编 号 2013010616

毕业论文

题 目 群同态与逆同态的几点探究
学 院 数学与统计学院
专 业 数学与应用数学
姓 名 ***
班　　级
学 号
研究类型 理论研究
指导教师
提交日期 2013.5.15
原创性声明

本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
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论文作者签名： 年 月 日

论文指导教师签名：

群同态与逆同态的几点探究

摘 要：本文主要写了两方面的内容,一方面是利用群同态基本定理的证明
思路证明某些群的同构，另一方面本文从新的角度即用逆同态来研究群中元素
之间的关系,证明了逆同态的几个相关性质及定理，探讨了逆同态与群同态的
内在联系和区别.
关键词：群同态；同构；群同态基本定理；逆同态.
分类号：O152
Several inquiries of the homomorphism
and anti-homomorphic
LI Qiaolian
　　(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，
Tian Shui，741000，Gansu)
Abstract: In this paper，we talked about two questions.The first one ，some examples have been proved with the fundamental homomorphism theorem of group.The second one，several properties and theorems were given of the anti-homomorphism.As the same time，the relationship and differences between anti-homomorphism and homomorphism in group were discussed.
Key Words: homomorphism；isomorphism；the fundamental homomorphism theorem of group；anti-homomorphism.

目　录
0引言 1
1预备知识 3
2主要结果 4
2.1群同态基本定理的应用 4
2.2 逆同态与群同态的相似性质 5
2.3逆同态和群同态的联系与区别 7
参考文献 10

数学与统计学院2013届毕业论文
0引言
什么是群同态和逆同态
设想有两位学生，一位中国学生，一位英国学生在一起做计算，当中国学生数“一，二，三，四……”时，英国学生却说“one ，two，three，four……”。虽然他们说的是不同的语言，但我们知道，他们所做的是同一件事——数数。同样，当中国学生在纸上写下“一加一等于二”，英国学生在纸上写下“one plus one equals two”时，虽然他们用的是不同的文字，但我们知道，他们也正在做同一件事情——进行数的加法，并且计算的是同一算式，我们为什么知道他们做的是同一件事呢？那是因为，我们在中文与英文之间建立了一种一一对应关系，比如说“一”对应“one”，“二”对应“two”，“三”对应“three”，“四”对应“four”，以及“加”对应“plus”，“等于”对应“equal”等等，而且每一对应中的两个词表示的是同一概念。根据这个对应我们可以把中文的句子统一的翻译为英文中的句子，不仅如此，我们还可以借助一种语言来完成原来要求在另一种语言下完成的工作，如此，一旦英国学生完成了算式“two plus three equals five”中国学生不用计算就可以知道“二加三等于五”，这就是说，上述对应关系不仅建立了中文的词与英文的词之间的联系，而且当我们用词组合成句子时，这种联系依然保持不变。两者的区别也仅仅在于对同一概念使用了不同的术语和记号，类似的情况也出现在群论中，经常会遇到这样一些群，他们表面上看起来是那样不同，他们的元素不同，运算也不同。但我们却可以在他们的元素之间建立一种一一对应的关系。而且这种对应关系还保持元素间的运算关系。由于群的性质是由他的元素和元素之间的运算所唯一确定的，这样，借助于这种一一对应的关系，我们就可以把一个群中所证明的结论翻译为另一个群中对应的结论，而不必在这个群中另证一遍。换言之，这两个群有完全相同的结构，所不同的仅仅是表述他们的元素及运算它们的术语和记号，这样做的意义当然是十分明显的。
怎样认识群同态和逆同态
认识一件事物，通常有三种途径：一是有局部到整体，而是由整体到局部，三是从一事物同类事物的联系与区别中去了解事物，近世代数中也常常采用这样的研究方法，而其中的同态与同构则采用第三种方法。在数学上，数学对象之间的联系往往是通过某种特殊的映射来反映的，这些映射不但建立了两个数学对象的元素之间的联系，而且也要能反映出这两个数学对象的某种结构上的联系，比如，线性代数中的线性映射就有这一特点，它既建立了两个线性空间的元素之间的对应关系，同时也保持了双方的某些运算性质，群同构的概念也具有这一特性。但是，群同构的概念对于讨论群之间的关系来说条件太强了，它首先要求群与群元素之间有一个一一对应的关系。因此我们可以说群同态是群同构的自然推广，通过群同态我们可了解一个群，商群以及它的同态象之间的密切联系，而这种联系，无论对于群论本身，还是对于群的应用，都是极为重要的。
群同态的和逆同态意义
如果说两国之间有政治关系,经济关系等等许多关系,则对于两个群之间就有同态关系.单同态意味着甲群与乙群的一个子群一样(同构),满同态说明乙群就是甲群的商群,非单非满的同态,则说甲群的一个商群与乙群的一个商群是一样的,这样的同态关系是群的仅有关系而子群和商群是这种关系仅涉及的两种语言。
众所周知，群论在数论中起着何等重要的作用。群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类。
而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。群同态基本定理告诉我们，一定找得到的一个不变子群，使得的性质和商群的完全一样，此定理是群论中最重要的定理之一，它是研究群与群之间关系的有利工具。在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。另外，群的逆同构和逆同态也是研究群的重要手段。
本文从新的角度,即用逆同态来研究群中元素之间的关系,同时探讨了逆同态与同态的联系与区别。

1预备知识
定义1.1 设和是两个群,是到的一个映射，如果对任意a，∈，若满足，则称是群的同态映射.（homomorphism）；若同态映射是满射，则称是群的同态满射（或满同态）(epimorphism).若是一一映射（即双射），则是群的同构映射，此时也称群与群同构，记做.
群到的同态映射与同构映射，分别称为群的自同态与自同构.
定义1.2 设是一个群,是G 的一个子群，如果对于∀∈G ,，即=,则称是G 的一个正规子群（或不变子群）,表示为G.其中a={a | n∈}称为由a决定的的左陪集;a={na | n∈}称为由a决定的的右陪集.当a=a时，简称为的陪集.
定义1.3 群的正规子群N的全体陪集对陪集的普通乘法做成一个群，称为关于
N的商群,记为.
定义1.4 设是群到的一个同态映射，的单位元在之下的所有逆象做成的
集合，叫做的核，记为Ker.
定义1.5 设是一个群，设是到的一个映射，若满足下列两个条件：
,是的单位元；即在下保持不变
,∀∈；
则称是群上的逆同态映射,简称逆同态.
若是群上的逆同态映射,且是双射,则称是群上的逆同构映射，简称逆同构.
定理1.6 设是到的一个同态映射，与分别是与的单位元，
∈,则将的单位元映到的单位元，即
；
设为任一正整数，则=；
如果阶有限，则 ∣;
定理1.7 设的一个非空子集做成子群的充要条件是：

命题1.8 如果: →为群的满同态，Ker=,则介于与之间的子群（即） 恰与的子群 一一对应，即=,= ;而且是的正规子群当且仅当是的正规子群.
命题1.9 设与是群,是到的同态映射，则同态映射的核Ker是的正规子群.
定理1.10（群同态基本定理）设与为群,是到的满同态，则，
/Ker
2主要结果
2.1群同态基本定理的应用
基于同态基本定理的证明思路，提供了证明两个商群同构的思路和方法：证明一个商群G/ N 与另一个群的同构，只需要构造群G/ N到的同态满射f ,并证明N = Ker f ，再利用同态基本定理即得G/ NG .
下面应用这一思想方法证明群中相关结论.
例1 设G ={(a,b) | a,b∈R, a ≠ 0} 是对乘法(a,b)(c, d) = (ac,ad + b) 构成的群，
K = {(1,b) | b∈R}，则G / KR*.
证明： 对∀a,b∈G ,设

显然f 是满射；
对∀(a,b),(c,d)∈G, f ((ab)(cd)) = f (ac,ad + b) = ac = f (a,b)f (c,d)，
因此f 是满同态，由同态基本定理知G / kerR* ,又
Ker f = {(a,b) | f (a,b) =1} = {(1,b) | b∈R} = K,
故G / KR*.
例 2 设圆群(,*) ,其中,*为数的乘法，
则R / Z.
证明：由于(Z,+)是(R,+)的正规子群.（“+”为数的普通加法）
设

显然是满射;
对∀x, y∈R, f (x + y) = = f (x) f ( y),
所以f 是满同态;
当时
故;
由群同态基本定理知
G/ ker= G / Z.
2.2 逆同态与群同态的相似性质
定理2.2.1 设是群,是到的逆同态,e是的单位元,,则有 .
.
.
证明: (1)对任意

该定理说明逆同态映射将原像的逆元作用为像的逆元.
(2)当;
当
;
当.
(3) ;
因此.
定理2.2.2 设是群,是到的逆同态,是的单位元,记 则是的正规子群.
我们知道在同态中,的同态核是的正规子集,由此定理知逆同态核也具
有同样的性质.
定理2.2.3 设是群,是到的逆同态, 则是的子群.
证明：

所以是的子群.
定理2.2.4 设是群到上的逆同态,且是单射, 当且仅当
证明：必要性

　　　充分性

故矛盾!因此,是单射.
2.3逆同态和群同态的联系与区别
定理2.3.1 设是群到的一个逆同态,是的单位元,则有是上的同态映射.
证明：1）当 ;
;
满足群上同态的定义,即为上的同态映射.
是上的同态映射.下证当时,结论也成立
;
.
定理2.3.2 设是群到的一个逆同态,是的单位元,则有是上的逆同态映射.
证明： ;
;
满足群上逆同态的定义,即为上的逆同态映射.
定理 2.3.3 设,都是群到的逆同态,是的单位元,则有 和都是上的同态映射.
证明：

综上由群同态定义可知, 是上的同态映射. 同理, 也是上的同态映射.
定理2.3.4 若是有限交换群,则上的同态也是逆同态.
证明： 设是群上的同态映射,是的单位元.
()=,,
由逆同态定义可知,是到的逆同态.
定理2.3.5 有限循环群上的自同态与逆同态等价,自同构与逆同构等价.
因为有限循环群必为有限交换群.
例1 设=是阶循环群,是正整数,定义
证明: (1) 是上的自同态且为逆同态.
(2) 是上的自同构且为逆同构,当且仅当.
证明：(1)是到上的映射.
是中单位元. ;
;
所以是自同态,又为有限循环群,故也为逆同态.
(2)充分性

若,则.从而得到
可知是单射,有限集上的单射必为双射,因此为自同构.又为逆同态映射故
逆同构.
必要性 若为逆同构, ..
由于 且具有单射性,因此,从而得到,即
定理2.3.6 设是群上的同态映射, 定义，则是群上的逆同态，反之，若是群上的逆同态,定义则是群上的同态.
证明：设是群上的同态，则有：

故为逆同态.
设是群上的逆同态，
由以上的定理可知,群的同态与逆同态可以建立对应关系,群的逆同态研究可以归于群同态的研究.

参考文献

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